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15 • Transition sous l’action d’une perturbation
EXERCICES
Exercice 15.1. Perturbation d’un état stationnaire
Un système est soumis à une perturbation V
(1) , faible et indépendante du
temps, durant un temps Dt. On suppose que le système reste dans un certain
état stationnaire |c
0
k (t) durant le temps Dt.
1. Écrire les valeurs des coefficients c n (t) et de dc n (t)/dt figurant dans le
développement (15.1.8). En déduire l’expression de l’équation (15.1.12)
dans le cas présent.
2. Résoudre l’équation précédente et déterminer le vecteur d’état du système durant la perturbation.
Solution.
1. Puisque durant le temps Dt le système reste dans l’état stationnaire |c
0
k (t), les coefficients
du développement (15.1.8) sont :
c n (t) = 0, dc n (t)/dt = 0, pour n = k ; c k (t) = 1
( 1 )
Compte tenu de (1), l’équation générale (15.1.12) se réduit à :
i
dc k
dt
= c k (t) c
0
k |V
(1)
|c
0
k
(2)
2. La solution de l’équation différentielle (2), avec la condition initiale c k (t = 0) = 1, est :
c k (t) = exp
−
i
c
0
k |V
(1)
|c
0
k t
; 0 t Dt
(3)
L’état |c
0
k (t) étant un état stationnaire s’écrit :
|c
0
k (t) = |c
0
k exp(−iE
0
k t/ )
( 4 )
Le vecteur d’état du système, durant la perturbation, devient :
|c k (t) = c k (t)|c
0
k (t) = |c
0
k exp
−
i
(E
0
k + c
0
k | V
(1)
|c
0
k ) t
(5)
On remarque que l’argument de l’exponentielle contient le terme (E
0
k + c
0
k | V
(1)
|c
0
k ) qui
est l’énergie au premier ordre donnée par la théorie des perturbations stationnaires. L’expression de |c k (t) est celle d’un état stationnaire classique. C’est un résultat naturel puisqu’on a
précisément supposé que le système reste dans un état stationnaire.
Exercice 15.2. Transition entre deux états stationnaires
On étudie une transition entre deux états stationnaires |c
0
n → |c
0
m . On
suppose que l’hamiltonien de perturbation reste indépendant du temps durant toute la durée Dt de la perturbation. De plus, Dt est petit devant la
durée de vie du niveau |c
0
n . Dans ces conditions, le système étant dans
l’état |c
0
n au temps t = 0 y reste pendant toute la durée Dt.
1. Déterminer, dans ce cas, l’expression de l’équation générale (15.1.12).
2. Calculer le coefficient c m (t).
15 • Transition sous l’action d’une perturbation
EXERCICES
Exercice 15.1. Perturbation d’un état stationnaire
Un système est soumis à une perturbation V
(1) , faible et indépendante du
temps, durant un temps Dt. On suppose que le système reste dans un certain
état stationnaire |c
0
k (t) durant le temps Dt.
1. Écrire les valeurs des coefficients c n (t) et de dc n (t)/dt figurant dans le
développement (15.1.8). En déduire l’expression de l’équation (15.1.12)
dans le cas présent.
2. Résoudre l’équation précédente et déterminer le vecteur d’état du système durant la perturbation.
Solution.
1. Puisque durant le temps Dt le système reste dans l’état stationnaire |c
0
k (t), les coefficients
du développement (15.1.8) sont :
c n (t) = 0, dc n (t)/dt = 0, pour n = k ; c k (t) = 1
( 1 )
Compte tenu de (1), l’équation générale (15.1.12) se réduit à :
i
dc k
dt
= c k (t) c
0
k |V
(1)
|c
0
k
(2)
2. La solution de l’équation différentielle (2), avec la condition initiale c k (t = 0) = 1, est :
c k (t) = exp
−
i
c
0
k |V
(1)
|c
0
k t
; 0 t Dt
(3)
L’état |c
0
k (t) étant un état stationnaire s’écrit :
|c
0
k (t) = |c
0
k exp(−iE
0
k t/ )
( 4 )
Le vecteur d’état du système, durant la perturbation, devient :
|c k (t) = c k (t)|c
0
k (t) = |c
0
k exp
−
i
(E
0
k + c
0
k | V
(1)
|c
0
k ) t
(5)
On remarque que l’argument de l’exponentielle contient le terme (E
0
k + c
0
k | V
(1)
|c
0
k ) qui
est l’énergie au premier ordre donnée par la théorie des perturbations stationnaires. L’expression de |c k (t) est celle d’un état stationnaire classique. C’est un résultat naturel puisqu’on a
précisément supposé que le système reste dans un état stationnaire.
Exercice 15.2. Transition entre deux états stationnaires
On étudie une transition entre deux états stationnaires |c
0
n → |c
0
m . On
suppose que l’hamiltonien de perturbation reste indépendant du temps durant toute la durée Dt de la perturbation. De plus, Dt est petit devant la
durée de vie du niveau |c
0
n . Dans ces conditions, le système étant dans
l’état |c
0
n au temps t = 0 y reste pendant toute la durée Dt.
1. Déterminer, dans ce cas, l’expression de l’équation générale (15.1.12).
2. Calculer le coefficient c m (t).