15.3 Transitions dipolaires électriques d’un atome
363
L’hamiltonien de perturbation H
(1) (t), donné par (15.3.6), est égal à :
H
(1) (t) = −(m x E x + m y E y + m z E z ) sin vt
(15.3.13)
Les éléments matriciels V ji , donnés par (15.3.11), sont obtenus en prenant :
V = −(m x E x + m y E y + m z E z ).
Pour obtenir la probabilité de transition P ij (t, v), il faut donc calculer les éléments
matriciels :
V
(1)
ji = w j | − (m x E x + m y E y + m z E z )|w i
(15.3.14)
où V
(1)
ji est relatif seulement à la perturbation W 1 . Les fonctions d’onde de l’atome
d’hydrogène sont de la forme :
c nlmms = R nl (r)P
m
l (u)e
imw x(m s )
(15.3.15)
Le calcul des éléments matriciels V
(1)
ji est effectué en utilisant les fonctions d’onde
(15.3.15) ainsi que les combinaisons linéaires des composantes m x , m y , m z donnant
m
− , m
+ et m z . Les termes à calculer sont donc de la forme suivante, pour E x = E y :
n
l
m
m
s |m
±
|n l m m s ; n
l
m
m
s |m z |n l m m s
(15.3.16)
L’expression (15.3.15) des fonctions d’onde montre que les intégrales représentées
par (15.3.16) peuvent être calculées sous forme du produit de trois intégrales portant
chacune sur une seule variable r, u ou w. Pour les intégrales portant sur les variables
u et w, on a, compte tenu de (15.3.9) :
l
m
|m
±
|lm =
m
2
1
−1
P
m
l (cos u) P
m
l (cos u) sin u d(cos u)
2p
0
e
−i(m
−m ∓ 1) w dw
(15.3.17)
L’intégrale portant sur la variable w est différente de zéro si :
m
= m ± 1, soit : Dm = m
− m = ±1
(15.3.18)
Le signe + est associé à m
+ et le signe − à m
− . L’intégrale portant sur la variable
u se calcule en tenant compte des relations de récurrence entre les polynômes de
Legendre P
m
l (cos u) ainsi que de leurs relations d’orthogonalité. Les seules intégrales
non nulles sont obtenues pour :
l
= l ± 1, soit : Dl = l
− l = ±1
(15.3.19)
Pour la composante m z , l’intégrale l
m
|m z |lm est un produit analogue à (15.3.17).
L’intégrale portant sur la variable w est différente de zéro si m
= m, soit :
Dm = m
− m = 0
(15.3.20)
L’intégrale portant sur la variable u est non nulle si : Dl = ±1.
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L’hamiltonien de perturbation H
(1) (t), donné par (15.3.6), est égal à :
H
(1) (t) = −(m x E x + m y E y + m z E z ) sin vt
(15.3.13)
Les éléments matriciels V ji , donnés par (15.3.11), sont obtenus en prenant :
V = −(m x E x + m y E y + m z E z ).
Pour obtenir la probabilité de transition P ij (t, v), il faut donc calculer les éléments
matriciels :
V
(1)
ji = w j | − (m x E x + m y E y + m z E z )|w i
(15.3.14)
où V
(1)
ji est relatif seulement à la perturbation W 1 . Les fonctions d’onde de l’atome
d’hydrogène sont de la forme :
c nlmms = R nl (r)P
m
l (u)e
imw x(m s )
(15.3.15)
Le calcul des éléments matriciels V
(1)
ji est effectué en utilisant les fonctions d’onde
(15.3.15) ainsi que les combinaisons linéaires des composantes m x , m y , m z donnant
m
− , m
+ et m z . Les termes à calculer sont donc de la forme suivante, pour E x = E y :
n
l
m
m
s |m
±
|n l m m s ; n
l
m
m
s |m z |n l m m s
(15.3.16)
L’expression (15.3.15) des fonctions d’onde montre que les intégrales représentées
par (15.3.16) peuvent être calculées sous forme du produit de trois intégrales portant
chacune sur une seule variable r, u ou w. Pour les intégrales portant sur les variables
u et w, on a, compte tenu de (15.3.9) :
l
m
|m
±
|lm =
m
2
1
−1
P
m
l (cos u) P
m
l (cos u) sin u d(cos u)
2p
0
e
−i(m
−m ∓ 1) w dw
(15.3.17)
L’intégrale portant sur la variable w est différente de zéro si :
m
= m ± 1, soit : Dm = m
− m = ±1
(15.3.18)
Le signe + est associé à m
+ et le signe − à m
− . L’intégrale portant sur la variable
u se calcule en tenant compte des relations de récurrence entre les polynômes de
Legendre P
m
l (cos u) ainsi que de leurs relations d’orthogonalité. Les seules intégrales
non nulles sont obtenues pour :
l
= l ± 1, soit : Dl = l
− l = ±1
(15.3.19)
Pour la composante m z , l’intégrale l
m
|m z |lm est un produit analogue à (15.3.17).
L’intégrale portant sur la variable w est différente de zéro si m
= m, soit :
Dm = m
− m = 0
(15.3.20)
L’intégrale portant sur la variable u est non nulle si : Dl = ±1.