15.3 Transitions dipolaires électriques d’un atome
361
Compte tenu de la relation (10.2.5), l’expression (15.3.1) est identique à celle de
l’hamiltonien qui figure dans l’équation (10.4.9) relative à un électron plongé dans
un champ extérieur. L’hamiltonien de l’électron non perturbé s’écrit :
H 0 =
P
2
2m e
+ V(R)
(15.3.2)
Le développement de (15.3.1) va nous donner l’hamiltonien de la perturbation
W = H − H 0 . Le terme q
2 A
2 (r, t)/2m e qui figure dans ce développement peut être
négligé si l’onde électromagnétique est celle engendrée par une source lumineuse
dont les intensités sont relativement faibles par rapport au terme proportionnel à A.
L’hamiltonien de perturbation s’écrit alors :
W(t) = −
q
2m e
[P·A(R, t) + A(R, t)·P] −
q
m e
S·B(R, t)
(15.3.3)
b) Importance relative des termes de perturbation
Les deux termes qui figurent dans (15.3.3) sont d’importance très inégale. Notons
ces termes :
W 1 (t) = −
q
2m e
[P·A(R, t) + A(R, t)·P] ; W 2 (t) = −
q
m e
S·B(R, t)
(15.3.4)
Le rapport W 1 (t)/W 2 (t) est de l’ordre de l/a 0 où l est une longueur d’onde optique,
par exemple 500 nm, et a 0 est le rayon de Bohr, soit 0,05 nm. L’importance de W 1
est donc d’environ 10 000 fois supérieure à celle de W 2 .
15.3.2 Hamiltonien dipolaire électrique
L’hamiltonien W 1 (t) représente l’énergie résultant de l’action du champ électrique
− →
E (r, t) de l’onde électromagnétique sur les charges électriques que constituent les
électrons de l’atome. Cette énergie peut être calculée classiquement en considérant
les électrons, situés à une distance r j du noyau, qui forment, avec la charge du noyau,
un dipôle dont le vecteur moment dipolaire est donné par :
m =
j
q j r j
(15.3.5)
La dimension de l’atome, de l’ordre du rayon de Bohr, étant environ 10 000 fois plus
petite que celle de la longueur d’onde du rayonnement électromagnétique, le champ
− →
E (r, t) est pratiquement indépendant de r au niveau de l’atome et son action est
celle du champ
− →
E (r = 0, t). L’énergie d’interaction est alors donnée par :
H
(1) (t) = −m·
− →
E (0, t)
(15.3.6)
On démontre que les expressions de l’énergie de perturbation W 1 (t), donnée par
(15.3.4), et H
(1) (t) sont équivalentes, en considérant évidemment une même approximation pour le potentiel vecteur en r = 0 et si l’on choisit convenablement une jauge
dont l’arbitraire ne modifie pas le contenu physique de la mécanique quantique.
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Compte tenu de la relation (10.2.5), l’expression (15.3.1) est identique à celle de
l’hamiltonien qui figure dans l’équation (10.4.9) relative à un électron plongé dans
un champ extérieur. L’hamiltonien de l’électron non perturbé s’écrit :
H 0 =
P
2
2m e
+ V(R)
(15.3.2)
Le développement de (15.3.1) va nous donner l’hamiltonien de la perturbation
W = H − H 0 . Le terme q
2 A
2 (r, t)/2m e qui figure dans ce développement peut être
négligé si l’onde électromagnétique est celle engendrée par une source lumineuse
dont les intensités sont relativement faibles par rapport au terme proportionnel à A.
L’hamiltonien de perturbation s’écrit alors :
W(t) = −
q
2m e
[P·A(R, t) + A(R, t)·P] −
q
m e
S·B(R, t)
(15.3.3)
b) Importance relative des termes de perturbation
Les deux termes qui figurent dans (15.3.3) sont d’importance très inégale. Notons
ces termes :
W 1 (t) = −
q
2m e
[P·A(R, t) + A(R, t)·P] ; W 2 (t) = −
q
m e
S·B(R, t)
(15.3.4)
Le rapport W 1 (t)/W 2 (t) est de l’ordre de l/a 0 où l est une longueur d’onde optique,
par exemple 500 nm, et a 0 est le rayon de Bohr, soit 0,05 nm. L’importance de W 1
est donc d’environ 10 000 fois supérieure à celle de W 2 .
15.3.2 Hamiltonien dipolaire électrique
L’hamiltonien W 1 (t) représente l’énergie résultant de l’action du champ électrique
− →
E (r, t) de l’onde électromagnétique sur les charges électriques que constituent les
électrons de l’atome. Cette énergie peut être calculée classiquement en considérant
les électrons, situés à une distance r j du noyau, qui forment, avec la charge du noyau,
un dipôle dont le vecteur moment dipolaire est donné par :
m =
j
q j r j
(15.3.5)
La dimension de l’atome, de l’ordre du rayon de Bohr, étant environ 10 000 fois plus
petite que celle de la longueur d’onde du rayonnement électromagnétique, le champ
− →
E (r, t) est pratiquement indépendant de r au niveau de l’atome et son action est
celle du champ
− →
E (r = 0, t). L’énergie d’interaction est alors donnée par :
H
(1) (t) = −m·
− →
E (0, t)
(15.3.6)
On démontre que les expressions de l’énergie de perturbation W 1 (t), donnée par
(15.3.4), et H
(1) (t) sont équivalentes, en considérant évidemment une même approximation pour le potentiel vecteur en r = 0 et si l’on choisit convenablement une jauge
dont l’arbitraire ne modifie pas le contenu physique de la mécanique quantique.