15.2 Perturbation sinusoïdale
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remplacée par une intégration et la probabilité P ij (t, v) doit être remplacée par la densité de probabilité ||w(E)|c(t)|
2 où c(t) est l’état du système au temps t. La relation
(15.2.13) s’écrit alors sous forme d’une intégrale :
P if (t, v) =
E∈DEf
D(E) | |w(E)|c(t) |
2 dE
(15.2.14)
La formule (15.2.11) nous donne l’expression de la densité de probabilité :
||w(E) | c(t)|
2
en remplaçant |V ji |
2 , dans (15.2.11), par une fonction continue de E, à savoir
| |w(E)|V|w i |
2 .
c) Perturbation sinusoïdale
Nous avons vu que les probabilités de transition P ij (t, v) ont une valeur notable pour
les niveaux E j voisins de E i ± v. Considérons le cas où E f > E i ; le niveau final est :
E f = E i + v
(15.2.15)
Posons v Ei = (E − E i )/ ; la formule (15.2.11) nous donne :
||w(E)|c(t)|
2 =
| |w(E)|V|w i |
2
4 2
sin(v Ei − v)t/2
(v Ei − v)/2
(15.2.16)
En reportant (15.2.16) dans l’intégrale (15.2.14), ceci donne l’expression de P if (t).
Pour des valeurs de t suffisamment grandes, on a |sin(xt)| /x → pd(x), et, compte
tenu de la formule générale d(ax) = d(x)/ |a|, on obtient :
P if (t, v) =
pt
2
||w f | V |w i |
2 D(E f )
(15.2.17)
La probabilité de transition croît proportionnellement au temps t. En conséquence,
la probabilité par unité de temps W if peut être définie par :
W if =
dP if (t, v)
dt
(15.2.18)
La formule (15.2.17) nous donne donc la probabilité de transition par unité de temps
pour une perturbation sinusoïdale :
W if =
p
2
||w f | V |w i |
2 D(E f )
(15.2.19)
avec E f = E i + v. Cette probabilité correspond à un processus d’absorption mais
l’émission s’étudierait par un raisonnement analogue. Si les niveaux sont dégénérés et caractérisés par E et un ensemble d’autres paramètres, la formule (15.2.19) se
conserve mais les indices i et f représentent alors l’ensemble des paramètres caractérisant les états initial et final.