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15 • Transition sous l’action d’une perturbation
Étudions la signification physique de la condition (15.2.9) qui s’écrit Dv 2|v ji |.
Compte tenu de (15.2.10), on a :
t 2p/|v ji |
(15.2.12)
Pour que la condition (15.2.9) soit vérifiée, il faut que la perturbation agisse sur le
système physique durant un temps suffisamment long par rapport à l’inverse de |v ji |.
Cela signifie que durant l’intervalle de temps [0, t], la perturbation doit avoir effectué
de nombreuses oscillations lui permettant d’agir sur le système et d’engendrer le
phénomène de résonance.
15.2.3 Probabilité de transition par unité de temps
La probabilité donnée par (15.2.11) est une fonction périodique de t et elle ne varie
donc pas proportionnellement au temps, ce qui ne permet pas de définir une probabilité de transition par unité de temps alors que les mesures expérimentales amènent
à utiliser ce concept.
Cependant, lorsque le spectre de l’hamiltonien est continu, ou si les niveaux sont
très proches formant un ensemble quasi-continu, on peut envisager des transitions à
un groupe d’états d’énergie voisine. Nous allons voir qu’on peut alors définir une
probabilité de transition par unité de temps.
a) Spectre quasi-continu
Afin de rendre plus évidente l’utilisation des formules précédentes donnant la probabilité de transition, nous allons d’abord considérer un spectre quasi-continu d’un
hamiltonien H 0 dont les états |w i sont caractérisés par leur niveau d’énergie E i et, en
général, par un ensemble d’autres paramètres. Plaçons-nous dans le cas de niveaux
non dégénérés.
Notons E i le niveau initial, avant une transition, et E f le niveau final, après la
transition. Proposons-nous de calculer la probabilité P if (t) d’effectuer, au temps t,
la transition du niveau E i dans un groupe donné d’états finals centrés autour de E f ;
notons DE f l’ensemble des niveaux de ce groupe. La probabilité de transitionP if (t, v)
est donnée par la somme :
P if (t, v) =
j∈DEf
P ij (t, v)
(15.2.13)
où la sommation est effectuée sur l’ensemble des niveaux j du groupe d’états finals.
b) Spectre continu
Passons maintenant à un spectre qu’on considère comme continu. L’énergie E devient une variable continue et le nombre de niveaux par unité d’énergie est caractérisé par la densité des niveaux d’énergie D(E). Notons DE f le domaine de variation
de E pour le groupe d’états finals centrés autour de E f . La somme (15.2.13) est alors
15 • Transition sous l’action d’une perturbation
Étudions la signification physique de la condition (15.2.9) qui s’écrit Dv 2|v ji |.
Compte tenu de (15.2.10), on a :
t 2p/|v ji |
(15.2.12)
Pour que la condition (15.2.9) soit vérifiée, il faut que la perturbation agisse sur le
système physique durant un temps suffisamment long par rapport à l’inverse de |v ji |.
Cela signifie que durant l’intervalle de temps [0, t], la perturbation doit avoir effectué
de nombreuses oscillations lui permettant d’agir sur le système et d’engendrer le
phénomène de résonance.
15.2.3 Probabilité de transition par unité de temps
La probabilité donnée par (15.2.11) est une fonction périodique de t et elle ne varie
donc pas proportionnellement au temps, ce qui ne permet pas de définir une probabilité de transition par unité de temps alors que les mesures expérimentales amènent
à utiliser ce concept.
Cependant, lorsque le spectre de l’hamiltonien est continu, ou si les niveaux sont
très proches formant un ensemble quasi-continu, on peut envisager des transitions à
un groupe d’états d’énergie voisine. Nous allons voir qu’on peut alors définir une
probabilité de transition par unité de temps.
a) Spectre quasi-continu
Afin de rendre plus évidente l’utilisation des formules précédentes donnant la probabilité de transition, nous allons d’abord considérer un spectre quasi-continu d’un
hamiltonien H 0 dont les états |w i sont caractérisés par leur niveau d’énergie E i et, en
général, par un ensemble d’autres paramètres. Plaçons-nous dans le cas de niveaux
non dégénérés.
Notons E i le niveau initial, avant une transition, et E f le niveau final, après la
transition. Proposons-nous de calculer la probabilité P if (t) d’effectuer, au temps t,
la transition du niveau E i dans un groupe donné d’états finals centrés autour de E f ;
notons DE f l’ensemble des niveaux de ce groupe. La probabilité de transitionP if (t, v)
est donnée par la somme :
P if (t, v) =
j∈DEf
P ij (t, v)
(15.2.13)
où la sommation est effectuée sur l’ensemble des niveaux j du groupe d’états finals.
b) Spectre continu
Passons maintenant à un spectre qu’on considère comme continu. L’énergie E devient une variable continue et le nombre de niveaux par unité d’énergie est caractérisé par la densité des niveaux d’énergie D(E). Notons DE f le domaine de variation
de E pour le groupe d’états finals centrés autour de E f . La somme (15.2.13) est alors