15.2 Perturbation sinusoïdale
357
Étudions le cas v ji positif, le traitement étant analogue dans le cas négatif. L’expression (15.2.3) de la probabilité de transition peut s’écrire sous la forme :
P ij (t, v) =
|V ji |
2
4 2 |A(t, v) − B(t, v)|
2
(15.2.6)
avec
A(t, v) =
1 − e
i(vji+v)t
v ji + v
; B(t, v) =
1 − e
i(vji−v)t
v ji − v
(15.2.7)
c) Termes B(t, v) et A(t, v)
Dw
w
0
B( )
2
w
Figure 15.1
Le terme B(t, v) peut se mettre sous la forme suivante :
B(t, v) = −ie
i(vji−v)t/2 sin[(v ji − v)t/2]
(v ji − v)/2
(15.2.8)
Pour une valeur fixée de t, la fonction |B(v)|
2 a l’allure
représentée sur la figure 15.1. On obtient un maximum
pour v = v ji . |B(v)|
2 s’annule une première fois, lorsqu’on s’éloigne de v ji , pour |v−v ji | = 2p/t. Supposons
vérifiée la condition :
|v − v ji | | |v ji |
(15.2.9)
Dans ce cas, la courbe |B(v)|
2 présente un pic étroit centré sur v ji et elle décroît rapidement au-delà de |v − v ji | > 2p/t en oscillant. Notons
Dv la distance qui sépare les deux premiers zéros de |B(v)|
2 , soit :
Dv = 4p/t
(15.2.10)
Selon (15.2.7), on a : A(t, v) = B(t, −v). Pour t fixé, la courbe |A(v)|
2 s’obtient en
prenant la courbe symétrique de |B(v)|
2 par rapport à la droite d’abscisse v = 0.
Lorsque la condition (15.2.9) est vérifiée, la valeur de |A(v)|
2 est négligeable au
voisinage de v = v ji .
d) Probabilité de transition
Lorsque v est positif et si la condition (15.2.9) est vérifiée, la probabilité de transition
devient donc pratiquement égale à :
P ij (t, v) ≈
|V ji |
2
4 2 |B(t, v)|
2 =
|V ji |
2
4 2
sin[(v ji − v)t/2]
(v ji − v)/2
2
(15.2.11)
Cette probabilité étant proportionnelle à |B(t, v)|
2 , est décrite par la courbe de
la figure 15.1 ; elle présente un maximum égal à |V ji |
2 t
2 /4
2 et s’annule lorsque
|v − v ji | = 2p/t. Cette courbe met bien en évidence le caractère résonant de la
probabilité de transition au voisinage de v = v ji .
357
Étudions le cas v ji positif, le traitement étant analogue dans le cas négatif. L’expression (15.2.3) de la probabilité de transition peut s’écrire sous la forme :
P ij (t, v) =
|V ji |
2
4 2 |A(t, v) − B(t, v)|
2
(15.2.6)
avec
A(t, v) =
1 − e
i(vji+v)t
v ji + v
; B(t, v) =
1 − e
i(vji−v)t
v ji − v
(15.2.7)
c) Termes B(t, v) et A(t, v)
Dw
w
0
B( )
2
w
Figure 15.1
Le terme B(t, v) peut se mettre sous la forme suivante :
B(t, v) = −ie
i(vji−v)t/2 sin[(v ji − v)t/2]
(v ji − v)/2
(15.2.8)
Pour une valeur fixée de t, la fonction |B(v)|
2 a l’allure
représentée sur la figure 15.1. On obtient un maximum
pour v = v ji . |B(v)|
2 s’annule une première fois, lorsqu’on s’éloigne de v ji , pour |v−v ji | = 2p/t. Supposons
vérifiée la condition :
|v − v ji | | |v ji |
(15.2.9)
Dans ce cas, la courbe |B(v)|
2 présente un pic étroit centré sur v ji et elle décroît rapidement au-delà de |v − v ji | > 2p/t en oscillant. Notons
Dv la distance qui sépare les deux premiers zéros de |B(v)|
2 , soit :
Dv = 4p/t
(15.2.10)
Selon (15.2.7), on a : A(t, v) = B(t, −v). Pour t fixé, la courbe |A(v)|
2 s’obtient en
prenant la courbe symétrique de |B(v)|
2 par rapport à la droite d’abscisse v = 0.
Lorsque la condition (15.2.9) est vérifiée, la valeur de |A(v)|
2 est négligeable au
voisinage de v = v ji .
d) Probabilité de transition
Lorsque v est positif et si la condition (15.2.9) est vérifiée, la probabilité de transition
devient donc pratiquement égale à :
P ij (t, v) ≈
|V ji |
2
4 2 |B(t, v)|
2 =
|V ji |
2
4 2
sin[(v ji − v)t/2]
(v ji − v)/2
2
(15.2.11)
Cette probabilité étant proportionnelle à |B(t, v)|
2 , est décrite par la courbe de
la figure 15.1 ; elle présente un maximum égal à |V ji |
2 t
2 /4
2 et s’annule lorsque
|v − v ji | = 2p/t. Cette courbe met bien en évidence le caractère résonant de la
probabilité de transition au voisinage de v = v ji .