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15 • Transition sous l’action d’une perturbation
où l est un paramètre très inférieur à l’unité. Cherchons les coefficients c j (t) sous
forme d’un développement en série de puissances de l :
c j (t) = c
(0)
j (t) + lc
(1)
j (t) + l
2 c
(2)
j (t) + · · ·
(15.1.14)
Portons les expressions (15.1.13) et (15.1.14) dans l’équation (15.1.12) et identifions
les coefficients de l
p dans les deux membres de cette équation. On obtient :
• Si p = 0 :
i
dc
(0)
j (t)
dt
= 0
(15.1.15)
• Si p = 0 :
n
c
( p−1)
n
(t) exp(iv jn t) w j | W(t) |w n = i
dc
( p)
j (t)
dt
(15.1.16)
L’équation (15.1.15) peut être résolue connaissant la condition initiale ; on obtient
c
(0)
j (t) qui se réduit à une constante. La relation de récurrence (15.1.16) permet ensuite d’obtenir c
(1)
j (t) connaissant c
(0)
j (t) et, de proche en proche, on peut calculer les
coefficients c
( p)
j (t).
a) Solution d’ordre zéro
Avant de subir la perturbation, le système est, par hypothèse, dans l’état |w i . À l’instant t = 0, le système subit éventuellement une discontinuité, mais la perturbation
ayant une valeur finie, la solution de l’équation de Schrödinger est continue en t = 0
et l’état (15.1.4) est tel que |c(t = 0) = |w i , d’où :
c j (t = 0) = d ji
(15.1.17)
Cette dernière égalité devant être vérifiée quel que soit le paramètre l, le développement (15.1.14) nous donne :
c
(0)
j (t = 0) = d ji ; c
(p)
j (t = 0) = 0 si p 1
(15.1.18)
L’égalité (15.1.15) donne alors, avec la condition initiale c
(0)
j (t = 0) = d ji :
c
(0)
j (t) = d ji pour t 0
(15.1.19)
C’est la solution d’ordre zéro du développement en série (15.1.14).
b) Solution d’ordre un
L’équation (15.1.16) s’écrit à l’ordre p = 1 :
n
d ni exp(iv jn t) w j | W(t) |w n = i
dc
(1)
j (t)
dt
(15.1.20)