15.1 Perturbation dépendant du temps
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dont les solutions stationnaires sont de la forme :
|w n (t) = |w n exp(−iE n t/ )
(15.1.7)
où les |w n sont les vecteurs propres de H 0 . Soit V
(1) (t) un opérateur décrivant une
perturbation appliquée au système. L’équation de Schrödinger du système perturbé
est donnée par (15.1.2) et les solutions de cette équation sont cherchées sous forme
d’un développement sur la base orthonormée {|w n (t)} :
|c(t) =
n
c n (t) |w n (t) =
n
c n (t) |w n exp(−iE n t/ )
(15.1.8)
Portons l’expression du développement (15.1.8) dans l’équation (15.1.2) ; en tenant
compte du fait que les |w n (t) vérifient l’équation (15.1.6), il vient :
n
c n (t) V
(1) (t) |w n (t) = i
n
dc n (t)
dt
|w n (t)
(15.1.9)
Le produit scalaire par |w j (t) de chaque terme de (15.1.9) donne, compte tenu de
l’orthogonalité des kets de base :
n
c n (t) w j (t)| V
(1) (t) |w n (t) = i
dc j (t)
dt
(15.1.10)
On obtient un système d’équations différentielles équivalent à l’équation (15.1.2).
Les termes w j (t)|V
(1) (t)|w n (t) sont les éléments matriciels de la perturbation dotée
d’un facteur temporel. En effet, les vecteurs |w n (t) ayant pour expression (15.1.7),
nous donnent :
w j (t)|V
(1) (t)|w n (t) = w j |V
(1) (t) |w n exp[i(E j − E n )t/ ]
(15.1.11a)
Cependant les éléments matriciels w j |V
(1) (t) |w n dépendent à présent du temps
puisque V
(1) (t) en dépend. Introduisons la pulsation de Bohr :
v jn =
E j − E n
(15.1.11b)
L’équation (15.1.10) s’écrit, compte tenu de (15.1.11a) et (15.1.11b) :
n
c n (t) exp(iv jn t) w j | V
(1) (t) |w n = i
dc j (t)
dt
(15.1.12)
On ne sait pas trouver, en général, une solution exacte pour le système d’équations
(15.1.12). Cependant on obtient des solutions approchées pour des cas particuliers.
15.1.4 Développement en série des coefficients c n (t)
Écrivons l’opérateur de perturbation sous la forme suivante :
V
(1) (t) = lW(t)
(15.1.13)