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15 • Transition sous l’action d’une perturbation
15.1.2 Probabilité de transition
Nous nous limitons dans ce chapitre à l’étude des transitions d’un système sous l’action d’une perturbation V
(1) (t) appliquée au système. Cette perturbation sera essentiellement une onde électromagnétique interagissant avec des atomes ou des molécules.
Considérons un système dont l’hamiltonien non perturbé est H 0 et nous supposerons, pour simplifier, son spectre discret et non dégénéré, les formules obtenues se
généralisant aisément au cas des valeurs propres dégénérées.
Le système est supposé dans un état stationnaire initial |w i correspondant à une
valeur propre E i . À l’instant t = 0, la perturbation V
(1) (t) est appliquée au système
qui évolue conformément à l’équation de Schrödinger :
i
d
dt
|c(t) = [H 0 + V
(1) (t)]|c(t)
(15.1.2)
Une solution rigoureuse de l’équation (15.1.2) étant généralement impossible, nous
allons chercher des solutions approchées par la méthode dite des perturbations dépendant du temps. Pour un système initialement préparé dans un état propre |w i ,
nous obtiendrons une solution unique |c i (t) qui, en général, ne sera pas un état stationnaire de l’hamiltonien H 0 + V
(1) (t) puisque l’énergie du système ne se conserve
pas.
Cependant, nous savons, ne serait-ce que grâce aux mesures spectroscopiques, que
le système peut passer de l’état initial |w i à un autre état propre |w j de l’hamiltonien
H 0 . Nous pourrons alors calculer à partir de |c i (t), la probabilité P ij (t) de trouver, à
l’instant t, le système dans l’état |w j . Cette probabilité est donnée par :
P ij (t) = ||w j |c i (t)|
2
(15.1.3)
En effet, si |c i (t) est développé sur la base des états orthonormés |w k du système
quantique non perturbé :
|c i (t) =
n
a n (t) |w n
(15.1.4)
où les coefficients a n (t) ne dépendent que du temps, on a :
||w j |c i (t)|
2 = |a j (t)|
2
(15.1.5)
Or |a j (t)|
2 représente la probabilité pour le système de se trouver dans l’état |w j . On
appelle probabilité de transition de l’état |w i à l’état |w j , la probabilité P ij (t) pour
le système de se trouver dans l’état |w j alors qu’il se trouvait avant la perturbation
dans l’état |w i .
15.1.3 Système d’équations de perturbation
Considérons un système physique d’hamiltonien H 0 , indépendant du temps, tel que :
i
d
dt
|c(t) = H 0 |c(t)
(15.1.6)
15 • Transition sous l’action d’une perturbation
15.1.2 Probabilité de transition
Nous nous limitons dans ce chapitre à l’étude des transitions d’un système sous l’action d’une perturbation V
(1) (t) appliquée au système. Cette perturbation sera essentiellement une onde électromagnétique interagissant avec des atomes ou des molécules.
Considérons un système dont l’hamiltonien non perturbé est H 0 et nous supposerons, pour simplifier, son spectre discret et non dégénéré, les formules obtenues se
généralisant aisément au cas des valeurs propres dégénérées.
Le système est supposé dans un état stationnaire initial |w i correspondant à une
valeur propre E i . À l’instant t = 0, la perturbation V
(1) (t) est appliquée au système
qui évolue conformément à l’équation de Schrödinger :
i
d
dt
|c(t) = [H 0 + V
(1) (t)]|c(t)
(15.1.2)
Une solution rigoureuse de l’équation (15.1.2) étant généralement impossible, nous
allons chercher des solutions approchées par la méthode dite des perturbations dépendant du temps. Pour un système initialement préparé dans un état propre |w i ,
nous obtiendrons une solution unique |c i (t) qui, en général, ne sera pas un état stationnaire de l’hamiltonien H 0 + V
(1) (t) puisque l’énergie du système ne se conserve
pas.
Cependant, nous savons, ne serait-ce que grâce aux mesures spectroscopiques, que
le système peut passer de l’état initial |w i à un autre état propre |w j de l’hamiltonien
H 0 . Nous pourrons alors calculer à partir de |c i (t), la probabilité P ij (t) de trouver, à
l’instant t, le système dans l’état |w j . Cette probabilité est donnée par :
P ij (t) = ||w j |c i (t)|
2
(15.1.3)
En effet, si |c i (t) est développé sur la base des états orthonormés |w k du système
quantique non perturbé :
|c i (t) =
n
a n (t) |w n
(15.1.4)
où les coefficients a n (t) ne dépendent que du temps, on a :
||w j |c i (t)|
2 = |a j (t)|
2
(15.1.5)
Or |a j (t)|
2 représente la probabilité pour le système de se trouver dans l’état |w j . On
appelle probabilité de transition de l’état |w i à l’état |w j , la probabilité P ij (t) pour
le système de se trouver dans l’état |w j alors qu’il se trouvait avant la perturbation
dans l’état |w i .
15.1.3 Système d’équations de perturbation
Considérons un système physique d’hamiltonien H 0 , indépendant du temps, tel que :
i
d
dt
|c(t) = H 0 |c(t)
(15.1.6)