350
14 • Atome d’hélium
Solution.
1. La moyenne temporelle, sur une durée t, de la dérivée f
est définie par :
f
=
1
t
t
0
f
(t)dt =
f (t) − f (0)
t
(3)
Cette expression tend bien vers zéro lorsque t tend vers l’infini puisque, par hypothèse, la
fonction f est bornée.
2. Soit v la vitesse de la particule, la valeur moyenne de l’énergie cinétique s’écrit :
T =
1
2
m v.v =
1
2
m
v.
dr
dt
(4)
La règle de dérivation d’un produit permet d’écrire la formule précédente sous la forme :
T =
1
2
m
d
dt
(v.r) − r.
dv
dt
(5)
Le produit scalaire v.r est une fonction bornée puisque le mouvement est supposé fini et
qu’une vitesse ne peut tendre vers l’infini. Par conséquent, la dérivée de v.r donne une
moyenne temporelle nulle d’après le résultat de la question 1. On a donc finalement :
T = −
1
2
r.m
dv
dt
= −
1
2
r.F
(6)
3. L’énergie potentielle U(r) correspond à un champ de force F tel que :
F = −∇U = −Akr
k−2 r
On a donc : r.F = −Ak
r
k
= −k U, d’où l’expression cherchée. Cette relation constitue
le théorème du viriel.
Dans le cadre de la mécanique quantique, où la moyenne d’un opérateur se substitue à la
moyenne sur le temps, on montre que l’équation (2) est également valide. Précisons que les
cas k = 2 et k = −1 revêtent une importance toute particulière en physique, puisqu’ils
correspondent respectivement aux problèmes de l’oscillateur harmonique et de l’atome d’hydrogène.