Exercices
349
où x et y désignent respectivement les rapports de masses m e /m N pour l’hélium 3 et l’hélium
4. Pour chacun des isotopes, la masse du noyau, m N , s’obtient en retranchant la masse des
électrons à la masse atomique. Compte tenu des valeurs données en Annexe A, il vient :
1
x
=
3, 01603 × 1, 660540 × 10
−27
9, 109389 × 10 −31
− 2 = 5495, 8863
(2)
1
y
=
4, 00260 × 1, 660540 × 10
−27
9, 109389 × 10 −31
− 2 = 7294, 2933
(3)
Il en résulte :
Dn MR (2
3 S 1 − 2
3 P 0 ) = 12413, 6 MHz
(4)
2. En additionnant les deux contributions, le déplacement isotopique total s’écrit :
Dn(2
3 S 1 − 2
3 P 0 ) = Dn MR (2
3 S 1 − 2
3 P 0 ) + Dn PM (2
3 P 0 ) − Dn PM (2
3 S 1 ) = 33666, 8 MHz.
Cette valeur est en excellent accord avec l’expérience.
Exercice 14.7. Théorème du viriel
Nous avons vu au cours de la section 14.4.2 que le théorème du viriel établit
une relation simple entre les valeurs moyennes des opérateurs d’énergies
cinétique, potentielle et totale. Ce théorème ne se limite pas qu’à la mécanique quantique ou aux seuls systèmes coulombiens à deux électrons. C’est
un théorème d’une grande généralité, qui est également applicable en mécanique classique, et à toute une famille d’énergies potentielles quel que
soit le nombre de particules en interaction. Dans cet exercice, nous nous
intéresserons à une seule particule, soumise à un champ de forces général, que nous étudierons dans le cadre de la mécanique classique ; dans ce
cadre, la moyenne est effectuée sur le temps.
1. Montrer que la moyenne temporelle, sur un temps suffisamment long,
de la dérivée d’une fonction f bornée, devient nulle.
2. Une particule de masse m est soumise à un champ de forces F(r) dérivant
de l’énergie potentielle : U(r) = Ar
k , où A et k sont des constantes. On
suppose que le mouvement est limité à une région bornée de l’espace. Dans
ce qui suit, on notera par X la moyenne temporelle d’une quantité X. En
utilisant le résultat de la question 1., montrer que la valeur moyenne de
l’énergie cinétique T vérifie la relation :
T = −
1
2
r.F
(1)
3. En déduire la relation suivante entre les valeurs moyennes des énergies
potentielle et cinétique :
2 T = k U
(2)
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où x et y désignent respectivement les rapports de masses m e /m N pour l’hélium 3 et l’hélium
4. Pour chacun des isotopes, la masse du noyau, m N , s’obtient en retranchant la masse des
électrons à la masse atomique. Compte tenu des valeurs données en Annexe A, il vient :
1
x
=
3, 01603 × 1, 660540 × 10
−27
9, 109389 × 10 −31
− 2 = 5495, 8863
(2)
1
y
=
4, 00260 × 1, 660540 × 10
−27
9, 109389 × 10 −31
− 2 = 7294, 2933
(3)
Il en résulte :
Dn MR (2
3 S 1 − 2
3 P 0 ) = 12413, 6 MHz
(4)
2. En additionnant les deux contributions, le déplacement isotopique total s’écrit :
Dn(2
3 S 1 − 2
3 P 0 ) = Dn MR (2
3 S 1 − 2
3 P 0 ) + Dn PM (2
3 P 0 ) − Dn PM (2
3 S 1 ) = 33666, 8 MHz.
Cette valeur est en excellent accord avec l’expérience.
Exercice 14.7. Théorème du viriel
Nous avons vu au cours de la section 14.4.2 que le théorème du viriel établit
une relation simple entre les valeurs moyennes des opérateurs d’énergies
cinétique, potentielle et totale. Ce théorème ne se limite pas qu’à la mécanique quantique ou aux seuls systèmes coulombiens à deux électrons. C’est
un théorème d’une grande généralité, qui est également applicable en mécanique classique, et à toute une famille d’énergies potentielles quel que
soit le nombre de particules en interaction. Dans cet exercice, nous nous
intéresserons à une seule particule, soumise à un champ de forces général, que nous étudierons dans le cadre de la mécanique classique ; dans ce
cadre, la moyenne est effectuée sur le temps.
1. Montrer que la moyenne temporelle, sur un temps suffisamment long,
de la dérivée d’une fonction f bornée, devient nulle.
2. Une particule de masse m est soumise à un champ de forces F(r) dérivant
de l’énergie potentielle : U(r) = Ar
k , où A et k sont des constantes. On
suppose que le mouvement est limité à une région bornée de l’espace. Dans
ce qui suit, on notera par X la moyenne temporelle d’une quantité X. En
utilisant le résultat de la question 1., montrer que la valeur moyenne de
l’énergie cinétique T vérifie la relation :
T = −
1
2
r.F
(1)
3. En déduire la relation suivante entre les valeurs moyennes des énergies
potentielle et cinétique :
2 T = k U
(2)