348
14 • Atome d’hélium
Ce résultat montre que les vecteurs position des deux électrons forment, quelle que soit la
valeur de Z, un angle moyen de 90
◦ , contre la valeur « exacte » 93, 71
◦ . On peut montrer, en
utilisant les coordonnées sphériques, que le résultat d’un angle moyen de 90
◦ persiste pour
toute fonction d’essai dépourvue de corrélation angulaire.
Les deux autres valeurs moyennes sont données par :
r 1 =
I[1, 0, 0, 2Z e , 2Z e , 0]
I[0, 0, 0, 2Z e , 2Z e , 0]
=
3
2Z e
(11)
r 12 =
I[0, 0, 1, 2Z e , 2Z e , 0]
I[0, 0, 0, 2Z e , 2Z e , 0]
=
35
16Z e
(12)
Pour Z = 2 et Z e = Z − 5/16, on en déduit les valeurs r 1 = 0, 8889 et r 12 = 1, 2963,
qui différent respectivement d’environ 4 et 9% des valeurs « exactes ». Notons que l’énergie
moyenne H = −(Z − 5/16)
2 , donnée par l’équation (14.4.10), s’écarte de seulement 2%
de la valeur « exacte ».
8. Compte tenu de l’équation (5) et de l’égalité
r
2
1
=
r
2
2
, la susceptibilité diamagnétique
s’écrit :
x = −
1
6
r
2
1 + r
2
2
= −
1
3
I[2, 0, 0, 2Z e , 2Z e , 0]
I[0, 0, 0, 2Z e , 2Z e , 0]
= −
1
Z 2
e
(13)
Pour Z = 2 et Z e = Z − 5/16, on obtient x = −0, 3512, résultat qui diffère d’environ 12%
de la valeur « exacte ».
Exercice 14.6. Déplacement isotopique des lignes spectrales
Par suite de la différence de masse entre les isotopes hélium 4 et hélium 3,
de masses respectives 4,00260 et 3,01603 unités de masse atomique, leurs
niveaux d’énergie sont décalés. Il en résulte un déplacement isotopique des
lignes spectrales, Dn, dont la mise en évidence est possible expérimentalement. Ainsi, pour ce qui est de la transition 2
3 S 1 − 2
3 P 0 , dont la fréquence
spectrale dans l’hélium 4 est de 2,7676409 × 10
8 MHz, une mesure très
précise donne Dn(2
3 S 1 − 2
3 P 0 ) = 33 668 ± 3 MHz. D’un point de vue
théorique, ce déplacement contient deux contributions : la première est liée
à la masse réduite (MR), l’autre à la polarisation de masse (PM).
1. Sachant que des calculs numériques, utilisant pour les deux états 2
3 S 1 et
2
3 P 0 des fonctions d’onde précises, donnent Dn PM (2
3 S 1 ) = −2 196,3 MHz
et Dn PM (2
3 P 0 ) = 19 056,9 MHz, calculer la contribution Dn MR liée à la
masse réduite.
2. Comparer le déplacement isotopique total à sa valeur expérimentale.
Solution.
1. Le déplacement isotopique lié à la masse réduite est donné par la formule (14.6.2). Appliquée aux deux isotopes, cette formule donne :
Dn MR (2
3 S 1 − 2
3 P 0 ) = n(2
3 S 1 − 2
3 P 0 )[
4 He]
1 −
1 + y
1 + x
(1)
14 • Atome d’hélium
Ce résultat montre que les vecteurs position des deux électrons forment, quelle que soit la
valeur de Z, un angle moyen de 90
◦ , contre la valeur « exacte » 93, 71
◦ . On peut montrer, en
utilisant les coordonnées sphériques, que le résultat d’un angle moyen de 90
◦ persiste pour
toute fonction d’essai dépourvue de corrélation angulaire.
Les deux autres valeurs moyennes sont données par :
r 1 =
I[1, 0, 0, 2Z e , 2Z e , 0]
I[0, 0, 0, 2Z e , 2Z e , 0]
=
3
2Z e
(11)
r 12 =
I[0, 0, 1, 2Z e , 2Z e , 0]
I[0, 0, 0, 2Z e , 2Z e , 0]
=
35
16Z e
(12)
Pour Z = 2 et Z e = Z − 5/16, on en déduit les valeurs r 1 = 0, 8889 et r 12 = 1, 2963,
qui différent respectivement d’environ 4 et 9% des valeurs « exactes ». Notons que l’énergie
moyenne H = −(Z − 5/16)
2 , donnée par l’équation (14.4.10), s’écarte de seulement 2%
de la valeur « exacte ».
8. Compte tenu de l’équation (5) et de l’égalité
r
2
1
=
r
2
2
, la susceptibilité diamagnétique
s’écrit :
x = −
1
6
r
2
1 + r
2
2
= −
1
3
I[2, 0, 0, 2Z e , 2Z e , 0]
I[0, 0, 0, 2Z e , 2Z e , 0]
= −
1
Z 2
e
(13)
Pour Z = 2 et Z e = Z − 5/16, on obtient x = −0, 3512, résultat qui diffère d’environ 12%
de la valeur « exacte ».
Exercice 14.6. Déplacement isotopique des lignes spectrales
Par suite de la différence de masse entre les isotopes hélium 4 et hélium 3,
de masses respectives 4,00260 et 3,01603 unités de masse atomique, leurs
niveaux d’énergie sont décalés. Il en résulte un déplacement isotopique des
lignes spectrales, Dn, dont la mise en évidence est possible expérimentalement. Ainsi, pour ce qui est de la transition 2
3 S 1 − 2
3 P 0 , dont la fréquence
spectrale dans l’hélium 4 est de 2,7676409 × 10
8 MHz, une mesure très
précise donne Dn(2
3 S 1 − 2
3 P 0 ) = 33 668 ± 3 MHz. D’un point de vue
théorique, ce déplacement contient deux contributions : la première est liée
à la masse réduite (MR), l’autre à la polarisation de masse (PM).
1. Sachant que des calculs numériques, utilisant pour les deux états 2
3 S 1 et
2
3 P 0 des fonctions d’onde précises, donnent Dn PM (2
3 S 1 ) = −2 196,3 MHz
et Dn PM (2
3 P 0 ) = 19 056,9 MHz, calculer la contribution Dn MR liée à la
masse réduite.
2. Comparer le déplacement isotopique total à sa valeur expérimentale.
Solution.
1. Le déplacement isotopique lié à la masse réduite est donné par la formule (14.6.2). Appliquée aux deux isotopes, cette formule donne :
Dn MR (2
3 S 1 − 2
3 P 0 ) = n(2
3 S 1 − 2
3 P 0 )[
4 He]
1 −
1 + y
1 + x
(1)