Exercices
347
Solution.
1. Pour calculer :
I[−1, −1, −1, a, b, c] =
∞
0
dr 1
∞
0
dr 2
r1+r2
|r1−r2|
dr 12 e
−ar1−br2−cr12
(2)
on effectue d’abord l’intégrale par rapport à la variable r 12 , puis on décompose l’intégrale
intermédiaire en deux parties ; il vient :
I[−1, −1, −1, a, b, c] =
1
c
∞
0
dr 1 e
−ar1
r1
0
dr 2 e
−br2
e
−c(r1−r2)
− e
−c(r1+r2)
(3)
+
∞
r1
dr 2 e
−br2
e
−c(r2−r1)
− e
−c(r1+r2)
Les autres intégrations étant élémentaires, on obtient :
I[−1, −1, −1, a, b, c] =
2
(a + b)(a + c)(b + c)
(4)
2. À partir de l’intégrale I[−1, −1, −1, a, b, c], on obtient respectivement après i + 1, j + 1,
et k + 1 dérivations successives, par rapport aux paramètres a, b, et c :
I[i, j, k, a, b, c] = (−1)
(i+j+k+3) ∂
i+j+k+3 I[−1, −1, −1, a, b, c]
∂a i+1 ∂b j+1 ∂c k+1
(5)
3. Pour le calcul de I[0, 0, −1, a, b, c], il suffit d’appliquer la formule (5) avec i = j = 0 et
k = −1. Il vient :
I[0, 0, −1, a, b, c] =
∂
2 I[−1, −1, −1, a, b, c]
∂a∂b
=
4((a + b + c)
2 + ab)
(a + b) 3 (a + c) 2 (b + c) 2
(6)
Pour les intégrales I[−1, 0, 0, a, b, c] et I[0, −1, 0, a, b, c], il n’est pas nécessaire de refaire le
calcul. Il suffit d’inverser respectivement les rôles de a et c, et de b et c.
4. Dérivons, au signe près, l’expression (6) par rapport à c. On obtient :
I[0, 0, 0, a, b, c] = −
∂I[0, 0, −1, a, b, c]
∂c
=
8((a + b + c)
3 + abc)
(a + b) 3 (a + c) 3 (b + c) 3
(7)
5. Compte tenu des expressions (6) et (7), la valeur moyenne cherchée s’écrit :
1
r 12
=
I[0, 0, −1, 2Z e , 2Z e , 0]
I[0, 0, 0, 2Z e , 2Z e , 0]
=
5
8
Z e
(8)
Pour Z = Z e , on retrouve bien le résultat de l’exercice 14.4.
6. Il en est de même pour 1/r 1 , qui s’écrit :
1
r 1
=
I[−1, 0, 0, 2Z e , 2Z e , 0]
I[0, 0, 0, 2Z e , 2Z e , 0]
= Z e
(9)
7. À l’aide de l’équation (5), on obtient :
cos u 12 =
r
2
1 + r
2
2 − r
2
12
2r 1 r 2
(10)
=
2I[1, −1, 0, 2Z e , 2Z e , 0] − I[−1, −1, 2, 2Z e , 2Z e , 0]
2I[0, 0, 0, 2Z e , 2Z e , 0]
= 0.