Exercices
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est utilisée dans de nombreux calculs de physique atomique, et, en particulier, lorsque les fonctions d’ondes n’ont pas de symétrie sphérique.
1. En utilisant la formule générale (B.3.3), donnée en Annexe B, développer 1/r 12 en série de Taylor, en fonction des quantités r > et r < , où r > et r <
désignent, respectivement, la plus grande et la plus petite des distances r 1
et r 2 .
2. Le théorème d’addition des harmoniques sphériques est un théorème
très utile en physique atomique, car il permet de séparer les angles associés
à r 1 et r 2 . Ce théorème stipule que :
P l (cos u 12 ) =
4p
2l + 1
l
m=−l
Y
m∗
l (u 1 , w 1 )Y
m
l (u 2 , w 2 ),
(3)
où la fonction Y
m
l est l’harmonique sphérique de degré l et d’ordre m. Calculer l’énergie E
(1) par la théorie des perturbations au premier ordre. En
déduire l’énergie de l’état fondamental du système.
Solution.
1. L’expression (14.2.7) pour la variable r 12 peut également s’écrire :
r 12 = r 1
1 − 2
r 2
r 1
cos u 12 +
r 2
r 1
2
(4)
= r 2
1 − 2
r 1
r 2
cos u 12 +
r 1
r 2
2
À l’aide des quantités r > et r < , ces deux formules se réunissent en une seule expression :
r 12 = r >
1 − 2lx + l 2
(5)
avec x = cos u 12 et l = r < /r > . Puisque l < 1, l’expression (5) permet d’utiliser la formule
(B.3.3). On obtient ainsi le développement multipolaire cherché :
1
r 12
=
1
r >
∞
l=0
r <
r >
l
P l (cos u 12 )
( 6 )
2. Compte tenu des expressions (1), (2), (3) et (6), la correction E
(1) s’écrit :
E
(1) =
Z
6
p 2
∞
0
dr 1 r
2
1
∞
0
dr 2 r
2
2 e
−2Z(r1+r2) 1
r >
∞
l=0
r <
r >
l
(7)
×
l
m=−l
(4p)
2
2l + 1
dV 1 Y
m∗
l (u 1 , w 1 )Y
0
0 (u 1 , w 1 )
dV 2 Y
m
l (u 2 , w 2 )Y
0∗
0 (u 2 , w 2 )
où on a introduit la propriété Y
0
0 (u 1 , w 1 ) = Y
0∗
0 (u 2 , w 2 ) = 1/
√
4p.