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14 • Atome d’hélium
où, compte tenu de la séparabilité des variables radiale et angulaires des fonctions
d’onde (7.3.22), la notion de « fonction d’essai moyenne » devient caduque.
14.2.4 Comportements asymptotiques
a) Régions asymptotiques
Le domaine asymptotique se sépare en deux régions. Lorsque les trois corps sont
infiniment éloignés les uns des autres (r 1 → ∞, r 2 → ∞, r 12 → ∞), l’étude du
comportement asymptotique de la fonction d’onde est compliquée, et reste sujet à
débats. Par contre, lorsque l’un des électrons (par exemple l’électron (1)) se trouve à
une distance finie du noyau, l’étude se simplifie considérablement, ainsi que nous le
montrons ci-dessous.
b) Comportement lorsque r 2 → ∞ et r 1 fini
Dans le cas où r 2 → ∞ et r 1 reste fini, la distance r 12 peut être assimilée à r 2 . Dès
lors, le potentiel répulsif V 12 = e
2 /r 12 est remplacé par e
2 /r 2 et on a :
V 2 + V 12 = −
(Z − 1)e
2
r 2
(14.2.24)
Tout se passe comme si l’électron externe (2) subissait une charge nucléaire (Z − 1),
l’électron interne (1) faisant écran au noyau.
L’équation de Schrödinger (14.2.1) devient :
−
2
2m e
( 1 + 2 ) −
Ze
2
r 1
−
(Z − 1)e
2
r 2
C(r 1 , r 2 ) = EC(r 1 , r 2 )
(14.2.25)
Il est remarquable que cette équation soit séparable, et donc sa solution admet la
forme C(r 1 , r 2 ) = w(r 1 )f(r 2 ). La fonction w(r 1 ) = w n1l1ml 1 (r 1 ) est la solution
(7.3.22) d’un atome hydrogénoïde dont l’énergie est E n1 = −(R He /2)(Z
2 /2n
2
1 ). Après
substitution dans (14.2.25), on obtient l’équation :
−
2
2m e
2 −
(Z − 1)e
2
r 2
f(r 2 ) = (E − E n1 )f(r 2 )
(14.2.26)
que l’on peut résoudre aisément. Contentons-nous du comportement asymptotique
r 2 → ∞, et cherchons la solution radiale sous la forme r
b
2 e −ar2 . Après avoir retenu
les termes dominants, il vient :
b =
m e e
2
2
(Z − 1)
a
− 1 ; a =
2m e
2 (E n1 − E)
(14.2.27)
et de ce fait :
C(r 1 , r 2 ) ∼ w n1l1ml 1 (r 1 ) r
b
2 e
−ar2
(14.2.28)
Notons que la quantité (E n1 − E) est un potentiel d’ionisation. Pour Z = 2, elle
désigne la différence entre l’énergie de l’état |n 1 l 1 m l1 de l’ion hydrogénoïde He
+ et
celle de l’hélium.
14 • Atome d’hélium
où, compte tenu de la séparabilité des variables radiale et angulaires des fonctions
d’onde (7.3.22), la notion de « fonction d’essai moyenne » devient caduque.
14.2.4 Comportements asymptotiques
a) Régions asymptotiques
Le domaine asymptotique se sépare en deux régions. Lorsque les trois corps sont
infiniment éloignés les uns des autres (r 1 → ∞, r 2 → ∞, r 12 → ∞), l’étude du
comportement asymptotique de la fonction d’onde est compliquée, et reste sujet à
débats. Par contre, lorsque l’un des électrons (par exemple l’électron (1)) se trouve à
une distance finie du noyau, l’étude se simplifie considérablement, ainsi que nous le
montrons ci-dessous.
b) Comportement lorsque r 2 → ∞ et r 1 fini
Dans le cas où r 2 → ∞ et r 1 reste fini, la distance r 12 peut être assimilée à r 2 . Dès
lors, le potentiel répulsif V 12 = e
2 /r 12 est remplacé par e
2 /r 2 et on a :
V 2 + V 12 = −
(Z − 1)e
2
r 2
(14.2.24)
Tout se passe comme si l’électron externe (2) subissait une charge nucléaire (Z − 1),
l’électron interne (1) faisant écran au noyau.
L’équation de Schrödinger (14.2.1) devient :
−
2
2m e
( 1 + 2 ) −
Ze
2
r 1
−
(Z − 1)e
2
r 2
C(r 1 , r 2 ) = EC(r 1 , r 2 )
(14.2.25)
Il est remarquable que cette équation soit séparable, et donc sa solution admet la
forme C(r 1 , r 2 ) = w(r 1 )f(r 2 ). La fonction w(r 1 ) = w n1l1ml 1 (r 1 ) est la solution
(7.3.22) d’un atome hydrogénoïde dont l’énergie est E n1 = −(R He /2)(Z
2 /2n
2
1 ). Après
substitution dans (14.2.25), on obtient l’équation :
−
2
2m e
2 −
(Z − 1)e
2
r 2
f(r 2 ) = (E − E n1 )f(r 2 )
(14.2.26)
que l’on peut résoudre aisément. Contentons-nous du comportement asymptotique
r 2 → ∞, et cherchons la solution radiale sous la forme r
b
2 e −ar2 . Après avoir retenu
les termes dominants, il vient :
b =
m e e
2
2
(Z − 1)
a
− 1 ; a =
2m e
2 (E n1 − E)
(14.2.27)
et de ce fait :
C(r 1 , r 2 ) ∼ w n1l1ml 1 (r 1 ) r
b
2 e
−ar2
(14.2.28)
Notons que la quantité (E n1 − E) est un potentiel d’ionisation. Pour Z = 2, elle
désigne la différence entre l’énergie de l’état |n 1 l 1 m l1 de l’ion hydrogénoïde He
+ et
celle de l’hélium.