Exercices
311
En séparant les rotations dans l’espace réel de celles dans l’espace des spineurs, le groupe G 2
se met sous la forme :
G 2 = [SO(3) ⊗ SO(3)] ⊗ [SU(2) ⊗ SU(2)] = H ⊗ G
( 2 )
Les représentations irréductibles de H = SO(3) ⊗ SO(3) sont égales aux produits directs des
représentations irréductibles de chaque groupe facteur de H, soit :
G l (H) = D
j
⊗ D
k ; j, k = 0, 1, 2, 3, ...
(3)
On obtient de même les représentations irréductibles de SU(2) ⊗ SU(2) :
G s (K) = D
j ⊗ D
k
; j, k = 0,
1
2
, 1,
3
2
, 2, ...
(4)
2. L’hamiltonien exact H 1 du système de deux électrons sans spin a pour groupe de symétrie
SO(3). L’hamiltonien H 1 est peu différent de l’hamiltonien H 0 qu’on considère en traitant
séparément les deux électrons qui ont alors pour groupe de symétrie H = SO(3) ⊗ SO(3). La
différence H 1 − H 0 peut être considérée comme une perturbation. En conséquence, on peut
utiliser la méthode de décomposition d’un niveau d’énergie sous l’action d’une perturbation.
La représentation irréductible G l (H) du groupe SO(3)⊗SO(3) peut alors être décomposée selon les représentations irréductibles du groupe SO(3). La décomposition de Clebsch-Gordan
du produit direct (3) s’écrit, pour j = k = 2 :
G l (H) = D
2
⊗ D
2 = D
4
⊕ D
3
⊕ D
2
⊕ D
1
⊕ D
0
(5)
Un raisonnement analogue s’applique aux représentations irréductibles du groupe
K = SU(2) ⊗ SU(2), d’où la décomposition de Clebsch-Gordan de G s (K) pour j, k = 1/2 :
G s (K) = D
1/2 ⊗ D
1/2 = D
1 ⊕ D
0
(6)
3. Le produit direct G n2 (G 2 ) = G l (H) ⊗ G s (K) devient compte tenu de (5) et (6) :
G n2 (G 2 ) = (D
4
⊕ D
3
⊕ D
2
⊕ D
1
⊕ D
0 ) ⊗ (D
1 ⊕ D
0 )
( 7 )
La dimension d’une représentation D
j est égale à 2j + 1, d’où la dimension de G n2 (G 2 ) :
(9 + 7 + 5 + 3 + 1) × (3 + 1) = 25 × 4 = 100
(8)
4. Lors de l’étude des propriétés de symétrie des vecteurs d’état, nous avons vu que les vecteurs de spin servant de base à la représentation D
1 forment un triplet de vecteurs complètement symétriques, alors que le singulet servant de base à D
0 est un vecteur antisymétrique.
D’autre part, les vecteurs d’état des électrons sans spin correspondant à L = 0, 2, 4 sont
complètement symétriques et servent respectivement de base aux représentations D
0 , D
2 ,
D
4 . Ceux correspondant à L = 1, 3 sont antisymétriques et servent respectivement de base à
D
1 et D
3 .
Par conséquent, les vecteurs d’état physiques qui doivent être antisymétriques, seront des
vecteurs formés par le produit tensoriel :
– d’un vecteur symétrique (appartenant à une base de D
1 ) et d’un vecteur antisymétrique
(base de D
1 ou D
3 ) ;
– ou d’un vecteur antisymétrique (base de D
0 ) et d’un vecteur symétrique (base de D
0 , D
2
ou D
4 ).
311
En séparant les rotations dans l’espace réel de celles dans l’espace des spineurs, le groupe G 2
se met sous la forme :
G 2 = [SO(3) ⊗ SO(3)] ⊗ [SU(2) ⊗ SU(2)] = H ⊗ G
( 2 )
Les représentations irréductibles de H = SO(3) ⊗ SO(3) sont égales aux produits directs des
représentations irréductibles de chaque groupe facteur de H, soit :
G l (H) = D
j
⊗ D
k ; j, k = 0, 1, 2, 3, ...
(3)
On obtient de même les représentations irréductibles de SU(2) ⊗ SU(2) :
G s (K) = D
j ⊗ D
k
; j, k = 0,
1
2
, 1,
3
2
, 2, ...
(4)
2. L’hamiltonien exact H 1 du système de deux électrons sans spin a pour groupe de symétrie
SO(3). L’hamiltonien H 1 est peu différent de l’hamiltonien H 0 qu’on considère en traitant
séparément les deux électrons qui ont alors pour groupe de symétrie H = SO(3) ⊗ SO(3). La
différence H 1 − H 0 peut être considérée comme une perturbation. En conséquence, on peut
utiliser la méthode de décomposition d’un niveau d’énergie sous l’action d’une perturbation.
La représentation irréductible G l (H) du groupe SO(3)⊗SO(3) peut alors être décomposée selon les représentations irréductibles du groupe SO(3). La décomposition de Clebsch-Gordan
du produit direct (3) s’écrit, pour j = k = 2 :
G l (H) = D
2
⊗ D
2 = D
4
⊕ D
3
⊕ D
2
⊕ D
1
⊕ D
0
(5)
Un raisonnement analogue s’applique aux représentations irréductibles du groupe
K = SU(2) ⊗ SU(2), d’où la décomposition de Clebsch-Gordan de G s (K) pour j, k = 1/2 :
G s (K) = D
1/2 ⊗ D
1/2 = D
1 ⊕ D
0
(6)
3. Le produit direct G n2 (G 2 ) = G l (H) ⊗ G s (K) devient compte tenu de (5) et (6) :
G n2 (G 2 ) = (D
4
⊕ D
3
⊕ D
2
⊕ D
1
⊕ D
0 ) ⊗ (D
1 ⊕ D
0 )
( 7 )
La dimension d’une représentation D
j est égale à 2j + 1, d’où la dimension de G n2 (G 2 ) :
(9 + 7 + 5 + 3 + 1) × (3 + 1) = 25 × 4 = 100
(8)
4. Lors de l’étude des propriétés de symétrie des vecteurs d’état, nous avons vu que les vecteurs de spin servant de base à la représentation D
1 forment un triplet de vecteurs complètement symétriques, alors que le singulet servant de base à D
0 est un vecteur antisymétrique.
D’autre part, les vecteurs d’état des électrons sans spin correspondant à L = 0, 2, 4 sont
complètement symétriques et servent respectivement de base aux représentations D
0 , D
2 ,
D
4 . Ceux correspondant à L = 1, 3 sont antisymétriques et servent respectivement de base à
D
1 et D
3 .
Par conséquent, les vecteurs d’état physiques qui doivent être antisymétriques, seront des
vecteurs formés par le produit tensoriel :
– d’un vecteur symétrique (appartenant à une base de D
1 ) et d’un vecteur antisymétrique
(base de D
1 ou D
3 ) ;
– ou d’un vecteur antisymétrique (base de D
0 ) et d’un vecteur symétrique (base de D
0 , D
2
ou D
4 ).