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13 • Atomes
Exercice 13.4. Termes spectraux du zirconium : seconde méthode
Une étude plus systématique des termes spectraux peut être réalisée en
utilisant la théorie des groupes. Le cas d’une couche incomplète nd
2 est
repris ici en faisant appel à la théorie des groupes.
1. Quel est le groupe de symétrie des deux électrons nd
2 ? On notera ce
groupe de symétrie G 2 .
On peut mettre le groupe G 2 sous la forme : G 2 = H ⊗ K, où H est un
groupe relatif aux rotations dans l’espace physique et K, un groupe relatif
aux rotations dans l’espace des spineurs. On note D
j les représentations
irréductibles du groupe SO(3) et D
j celles du groupe SU(2).
Écrire les expressions des représentations irréductibles des groupes H et K,
notées respectivement G l (H) et G s (K).
2. Si l’on considère à présent le moment cinétique total des deux électrons
nd
2 sans spin, son groupe de symétrie est SO(3). La représentation G l (H)
est alors une représentation réductible pour le groupe SO(3). Déterminer la
décomposition de Clebsch-Gordan de la représentations G l (H).
Une remarque analogue est valable pour le moment total de spin. Déterminer la décomposition de Clebsch-Gordan de G s (K).
3. On pose : G n2 (G 2 ) = G l (H) ⊗ G s (K). Développer ce produit direct en
une somme directe de représentations, à partir des décompositions précédentes de Clebsch-Gordan. Vérifier que la somme des dimensions des représentations qui figurent dans G n2 (G 2 ) est égale à la dimension de l’espace
vectoriel E n2 des vecteurs d’état des électrons nd
2 formés par les produits
tensoriels des vecteurs d’état relatifs à chaque électron.
4. Les vecteurs complètement antisymétriques de E P servent à former
une base de représentation pour le groupe G 2 ; on note cette représentation G P (G 2 ). La représentation G n2 (G 2 ) peut s’écrire sous la forme :
G n2 (G 2 ) = G P (G 2 ) ⊕ G k .
Déterminer la décomposition de G P (G 2 ) en une somme directe de représentations en utilisant la décomposition obtenue à la question 3.
5. En déduire les termes spectraux d’un atome ayant une seule couche
incomplète formée de deux électrons nd
2 .
6. Vérifier que la dimension de G P (G 2 ) est égale à la dégénérescence de la
couche incomplète nd
2 .
Solution.
1. Le groupe de symétrie d’un électron avec spin est le groupe produit direct SO(3) ⊗ SU(2).
Pour deux électrons, on a le groupe de symétrie :
G 2 = [SO(3) ⊗ SU(2)] ⊗ [SO(3) ⊗ SU(2)]
(1)
13 • Atomes
Exercice 13.4. Termes spectraux du zirconium : seconde méthode
Une étude plus systématique des termes spectraux peut être réalisée en
utilisant la théorie des groupes. Le cas d’une couche incomplète nd
2 est
repris ici en faisant appel à la théorie des groupes.
1. Quel est le groupe de symétrie des deux électrons nd
2 ? On notera ce
groupe de symétrie G 2 .
On peut mettre le groupe G 2 sous la forme : G 2 = H ⊗ K, où H est un
groupe relatif aux rotations dans l’espace physique et K, un groupe relatif
aux rotations dans l’espace des spineurs. On note D
j les représentations
irréductibles du groupe SO(3) et D
j celles du groupe SU(2).
Écrire les expressions des représentations irréductibles des groupes H et K,
notées respectivement G l (H) et G s (K).
2. Si l’on considère à présent le moment cinétique total des deux électrons
nd
2 sans spin, son groupe de symétrie est SO(3). La représentation G l (H)
est alors une représentation réductible pour le groupe SO(3). Déterminer la
décomposition de Clebsch-Gordan de la représentations G l (H).
Une remarque analogue est valable pour le moment total de spin. Déterminer la décomposition de Clebsch-Gordan de G s (K).
3. On pose : G n2 (G 2 ) = G l (H) ⊗ G s (K). Développer ce produit direct en
une somme directe de représentations, à partir des décompositions précédentes de Clebsch-Gordan. Vérifier que la somme des dimensions des représentations qui figurent dans G n2 (G 2 ) est égale à la dimension de l’espace
vectoriel E n2 des vecteurs d’état des électrons nd
2 formés par les produits
tensoriels des vecteurs d’état relatifs à chaque électron.
4. Les vecteurs complètement antisymétriques de E P servent à former
une base de représentation pour le groupe G 2 ; on note cette représentation G P (G 2 ). La représentation G n2 (G 2 ) peut s’écrire sous la forme :
G n2 (G 2 ) = G P (G 2 ) ⊕ G k .
Déterminer la décomposition de G P (G 2 ) en une somme directe de représentations en utilisant la décomposition obtenue à la question 3.
5. En déduire les termes spectraux d’un atome ayant une seule couche
incomplète formée de deux électrons nd
2 .
6. Vérifier que la dimension de G P (G 2 ) est égale à la dégénérescence de la
couche incomplète nd
2 .
Solution.
1. Le groupe de symétrie d’un électron avec spin est le groupe produit direct SO(3) ⊗ SU(2).
Pour deux électrons, on a le groupe de symétrie :
G 2 = [SO(3) ⊗ SU(2)] ⊗ [SO(3) ⊗ SU(2)]
(1)