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13 • Atomes
La matrice de W(r) étant diagonale, les énergies de perturbation sont donc égales à : E
(1)
nl = J.
Seules les fonctions R nl (r) correspondant à l = 0 ne sont pas nulles en r = 0. Par suite, seuls
les niveaux d’énergie des états s sont déplacés d’une quantité égale à :
E
(1)
n0 =
Ze
2 r
2
0
10
|R n0 (0)|
2
(8)
Cette correction énergétique est extrêmement faible pour Z = 1. Pour n = 1, par exemple,
on obtient un ordre de grandeur de 10
−8 eV pour E
(1)
10 . L’effet de volume peut être mis en
évidence pour des atomes lourds, en comparant les spectres d’émission de deux isotopes
dont les répartitions de charge sont différentes ; on observe alors un déplacement isotopique
de leurs raies spectrales.
Exercice 13.3. Termes spectraux du zirconium : première méthode
Le zirconium est un métal d’importance grandissante car le développement
de l’industrie du zirconium est étroitement lié à celui de l’énergie nucléaire.
Cet élément chimique a pour symbole Zr et pour numéro atomique Z = 40.
1. Écrire la configuration électronique du zirconium sachant que ses premières couches sont complètement remplies. Par contre, la couche 4f est
vide ; la couche 5s est pleine et la couche 4d est celle de niveau d’énergie
le plus élevé.
2. Déterminer les termes spectraux pour un atome qui possède une configuration électronique comportant une seule couche incomplète ayant deux
électrons d équivalents, notés nd
2 .
Pour cela, on cherchera toutes les combinaisons possibles entre les valeurs
m l et m s pour un électron d. Puis on déterminera toutes les valeurs possibles
positives de M L et M S pour les deux électrons d. En déduire alors les termes
spectraux demandés.
3. Calculer la dégénérescence totale d’une configuration nd
2 .
4. Calculer la dégénérescence de chaque terme spectral et vérifier que leur
somme redonne la dégénérescence totale.
5. Déterminer le terme spectral de l’état fondamental du zirconium.
Solution.
1. La configuration électronique du zirconium est la suivante :
1s
2 2s
2 2p
6 3s
2 3p
6 3d
10 4s
2 4p
6 4d
2 5s
2
(1)
2. Une couche d correspond à l = 2 et m l = 2, 1, 0, −1, −2. D’autre part, on a pour le spin :
m s = ±(1/2). Combinant les valeurs de m l avec celles de m s , on obtient 10 combinaisons
possibles, à savoir :
a : 2,
1
2
; b : 1,
1
2
; c : 0,
1
2
; d : −1,
1
2
; e : −2,
1
2
a
: 2, −
1
2
; b
: 1, −
1
2
; c
: 0, −
1
2
; d
: −1, −
1
2
; e
: −2, −
1
2
(2)
13 • Atomes
La matrice de W(r) étant diagonale, les énergies de perturbation sont donc égales à : E
(1)
nl = J.
Seules les fonctions R nl (r) correspondant à l = 0 ne sont pas nulles en r = 0. Par suite, seuls
les niveaux d’énergie des états s sont déplacés d’une quantité égale à :
E
(1)
n0 =
Ze
2 r
2
0
10
|R n0 (0)|
2
(8)
Cette correction énergétique est extrêmement faible pour Z = 1. Pour n = 1, par exemple,
on obtient un ordre de grandeur de 10
−8 eV pour E
(1)
10 . L’effet de volume peut être mis en
évidence pour des atomes lourds, en comparant les spectres d’émission de deux isotopes
dont les répartitions de charge sont différentes ; on observe alors un déplacement isotopique
de leurs raies spectrales.
Exercice 13.3. Termes spectraux du zirconium : première méthode
Le zirconium est un métal d’importance grandissante car le développement
de l’industrie du zirconium est étroitement lié à celui de l’énergie nucléaire.
Cet élément chimique a pour symbole Zr et pour numéro atomique Z = 40.
1. Écrire la configuration électronique du zirconium sachant que ses premières couches sont complètement remplies. Par contre, la couche 4f est
vide ; la couche 5s est pleine et la couche 4d est celle de niveau d’énergie
le plus élevé.
2. Déterminer les termes spectraux pour un atome qui possède une configuration électronique comportant une seule couche incomplète ayant deux
électrons d équivalents, notés nd
2 .
Pour cela, on cherchera toutes les combinaisons possibles entre les valeurs
m l et m s pour un électron d. Puis on déterminera toutes les valeurs possibles
positives de M L et M S pour les deux électrons d. En déduire alors les termes
spectraux demandés.
3. Calculer la dégénérescence totale d’une configuration nd
2 .
4. Calculer la dégénérescence de chaque terme spectral et vérifier que leur
somme redonne la dégénérescence totale.
5. Déterminer le terme spectral de l’état fondamental du zirconium.
Solution.
1. La configuration électronique du zirconium est la suivante :
1s
2 2s
2 2p
6 3s
2 3p
6 3d
10 4s
2 4p
6 4d
2 5s
2
(1)
2. Une couche d correspond à l = 2 et m l = 2, 1, 0, −1, −2. D’autre part, on a pour le spin :
m s = ±(1/2). Combinant les valeurs de m l avec celles de m s , on obtient 10 combinaisons
possibles, à savoir :
a : 2,
1
2
; b : 1,
1
2
; c : 0,
1
2
; d : −1,
1
2
; e : −2,
1
2
a
: 2, −
1
2
; b
: 1, −
1
2
; c
: 0, −
1
2
; d
: −1, −
1
2
; e
: −2, −
1
2
(2)