Exercices
307
1. Pour calculer cet effet, on suppose que le noyau est une sphère de rayon
r 0 dans laquelle la charge Ze 0 est répartie uniformément. Déterminer l’énergie potentielle d’un électron dans le champ créé par le noyau à l’extérieur
et à l’intérieur de celui-ci.
2. On considère un ion hydrogénoïde dont le noyau a pour charge Ze 0 et
on suppose que le potentiel utilisé pour le calcul des niveaux d’énergie non
perturbés est un potentiel coulombien. Déterminer l’expression W(r) du
potentiel perturbateur engendré par l’effet de volume.
3. Calculer la variation d’énergie E
(1)
n , au premier ordre, engendrée par
cette perturbation. On supposera r 0 très inférieur au rayon de Bohr.
Solution.
1. Pour r r 0 , l’énergie potentielle d’un électron dans le champ créé par une sphère de
charge Ze 0 est :
U(r) = −
Ze
2
r
, avec e
2 =
e
2
0
4p´ 0
(1)
Pour r r 0 , le théorème de Gauss donne l’expression du champ E. L’énergie potentielle qui
en dérive est :
U 1 (r) =
Ze
2 r
2
2r
3
0
+ C
(2)
La constante C est déterminée en identifiant les valeurs U(r 0 ) et U 1 (r 0 ), d’où :
C = −
3Ze
2
2r 0
(3)
2. L’énergie potentielle de perturbation est la différence entre l’énergie due au noyau, donnée
par (2), en considérant son volume réel et l’énergie donnée par (1), d’où :
W(r) =
Ze
2
2r 0
r
r 0
2
− 3 +
2r 0
r
si r r 0 ; W(r) = 0 si r r 0
(4)
3. Le calcul des énergies de perturbation au premier ordre nécessite le calcul des éléments
matriciels de W(r) :
nlm|W(R)|nl
m
=
c
∗
nlm W(r) c nl m d
3 r
(5)
avec c nlm (r, u, w) = R nl (r)Y lm (u, w). Les intégrales portant sur les variables angulaires sont
égales à d ll d mm ; par suite, seuls les éléments matriciels diagonaux ne sont pas nuls.
Par hypothèse r 0 a 0 ; la région dans laquelle W(r) n’est pas nulle est donc très petite par
rapport au domaine de variation des fonctions R nl (r). On peut donc considérer que dans le
domaine r r 0 , on a : R nl (r) R nl (0) et l’intégrale portant sur la variable r s’écrit :
J =
Ze
2
2r 0
|R nl (0)|
2
r0
0
r
r 0
2
− 3 +
2r 0
r
r
2 dr
(6)
soit :
J =
Ze
2 r
2
0
10
|R nl (0)|
2
(7)
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1. Pour calculer cet effet, on suppose que le noyau est une sphère de rayon
r 0 dans laquelle la charge Ze 0 est répartie uniformément. Déterminer l’énergie potentielle d’un électron dans le champ créé par le noyau à l’extérieur
et à l’intérieur de celui-ci.
2. On considère un ion hydrogénoïde dont le noyau a pour charge Ze 0 et
on suppose que le potentiel utilisé pour le calcul des niveaux d’énergie non
perturbés est un potentiel coulombien. Déterminer l’expression W(r) du
potentiel perturbateur engendré par l’effet de volume.
3. Calculer la variation d’énergie E
(1)
n , au premier ordre, engendrée par
cette perturbation. On supposera r 0 très inférieur au rayon de Bohr.
Solution.
1. Pour r r 0 , l’énergie potentielle d’un électron dans le champ créé par une sphère de
charge Ze 0 est :
U(r) = −
Ze
2
r
, avec e
2 =
e
2
0
4p´ 0
(1)
Pour r r 0 , le théorème de Gauss donne l’expression du champ E. L’énergie potentielle qui
en dérive est :
U 1 (r) =
Ze
2 r
2
2r
3
0
+ C
(2)
La constante C est déterminée en identifiant les valeurs U(r 0 ) et U 1 (r 0 ), d’où :
C = −
3Ze
2
2r 0
(3)
2. L’énergie potentielle de perturbation est la différence entre l’énergie due au noyau, donnée
par (2), en considérant son volume réel et l’énergie donnée par (1), d’où :
W(r) =
Ze
2
2r 0
r
r 0
2
− 3 +
2r 0
r
si r r 0 ; W(r) = 0 si r r 0
(4)
3. Le calcul des énergies de perturbation au premier ordre nécessite le calcul des éléments
matriciels de W(r) :
nlm|W(R)|nl
m
=
c
∗
nlm W(r) c nl m d
3 r
(5)
avec c nlm (r, u, w) = R nl (r)Y lm (u, w). Les intégrales portant sur les variables angulaires sont
égales à d ll d mm ; par suite, seuls les éléments matriciels diagonaux ne sont pas nuls.
Par hypothèse r 0 a 0 ; la région dans laquelle W(r) n’est pas nulle est donc très petite par
rapport au domaine de variation des fonctions R nl (r). On peut donc considérer que dans le
domaine r r 0 , on a : R nl (r) R nl (0) et l’intégrale portant sur la variable r s’écrit :
J =
Ze
2
2r 0
|R nl (0)|
2
r0
0
r
r 0
2
− 3 +
2r 0
r
r
2 dr
(6)
soit :
J =
Ze
2 r
2
0
10
|R nl (0)|
2
(7)