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12 • Identité des particules
Solution.
1. Le produit scalaire S 1 ·S 2 s’écrit en fonction de S = S 1 + S 2 :
S 1 ·S 2 =
1
2
(S
2
− S
2
1 − S
2
2 )
( 1 )
d’où les valeurs propres de S 1 ·S 2 :
(s 1 s 2 ) =
2
2
[S(S + 1) − s 1 (s 1 + 1) − s 2 (s 2 + 1)]
(2)
On obtient : pour S = 0 : (s 1 s 2 ) = −3
2 /4 ; pour S = 1 : (s 1 s 2 ) =
2 /4.
2. Lorsque W = a + bS 1 ·S 2 opère sur l’état singulet, donné par (12.3.12), de spin S = 0, sa
valeur propre est égale, en utilisant le résultat précédent, à : a − 3b
2 /4.
Lorsque W opère sur les vecteurs de l’état triplet, de spin S = 1, sa valeur propre est :
a + b
2 /4.
3. Pour obtenir les mêmes résultats qu’avec l’opérateur f (|r 1 − r 2 |), il suffit d’identifier les
valeurs propres de W avec les quantités A ± J déterminées au cours de l’exercice 12.2.
Il vient :
a − 3b
2 /4 = A + J ; a + b
2 /4 = A − J
(3)
d’où :
a = A −
J
2
; b = −
2J
2
(4)
L’opérateur W ainsi obtenu rappelle, par sa forme, un opérateur d’interaction magnétique
entre deux spins, et sa simplicité fait qu’on préfère éventuellement l’utiliser plutôt que l’opérateur f (|r 1 − r 2 |). Il ne faut cependant pas oublier que l’origine physique de l’opérateur W
est en réalité une interaction électrostatique.