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12 • Identité des particules
3. L’opérateur moment cinétique total L a pour composantes L x , L y , L z . Calculons, par
exemple, le commutateur [L z , H]. Selon la relation (2), on a :
[L z , H] = [L 1z + L 2z , H] = −i
x 1
∂f
∂y 1
− y 1
∂f
∂x 1
+ x 2
∂f
∂y 2
− y 2
∂f
∂x 2
(4)
Puisque f ne dépend que de |r 1 − r 2 |, on peut écrire :
∂f
∂y 1
=
∂f
∂|r 1 − r 2 |
∂|r 1 − r 2 |
∂y 1
=
∂f
∂|r 1 − r 2 |
y 1 − y 2
|r 1 − r 2 |
(5)
ainsi que des expressions analogues pour les autres dérivées partielles par rapport à x 1 , y 2 et
x 2 . L’expression (4) s’écrit alors :
[L z , H] = −i
∂f
∂|r 1 − r 2 |
1
|r 1 − r 2 |
× [x 1 (y 1 − y 2 ) − y 1 (x 1 − x 2 ) + x 2 (y 2 − y 1 ) − y 2 (x 2 − x 1 )] = 0
(6)
Des calculs analogues peuvent être faits pour les composantes L x et L y , aboutissant à
[L x , H] = 0 et [L y , H] = 0, d’où [L, H] = 0. L’hamiltonien H commute avec l’opérateur L.
Exercice 12.2. Intégrale d’échange de l’atome d’hélium
1. Montrer, en réalisation-|r 1 , r 2 , que le déplacement des niveaux d’énergie de l’atome d’hélium E
0
1n dû à l’interaction électrostatique entre les deux
électrons est de la forme A ± J avec J > 0.
2. Déterminer la disposition relative des niveaux des états triplet et singulet
de la configuration 1s 2s de l’atome d’hélium (l = l
= 0).
3. Quelle est la valeur des fonctions d’espace de l’état triplet lorsque
r 1 = r 2 ? Que peut-on en déduire sur la probabilité de présence des électrons lorsque r 1 = r 2 ? Retrouver la disposition relative des états singulet
et triplet déterminée à la question précédente.
Solution.
1. Notons c nlml (r i ), i = 1, 2, les fonctions d’onde de l’électron i en réalisation-|r 1 , r 2 . Les
vecteurs kets donnés par (12.3.16) s’écrivent :
C
±
100, nlml (r 1 , r 2 ) =
1
√
2
[c 100 (r 1 ) c nlml (r 2 ) ± c nlml (r 1 )c 100 (r 2 )]
(1)
Notons f (|r 1 − r 2 |) l’opérateur d’interaction électrostatique entre les électrons. L’énergie de
perturbation donnée par (12.3.20) s’écrit :
E
(1)
n, l, ± =
C
± ∗
100, nlml f C
±
100, nlml d
3 r 1 d
3 r 2
(2)
12 • Identité des particules
3. L’opérateur moment cinétique total L a pour composantes L x , L y , L z . Calculons, par
exemple, le commutateur [L z , H]. Selon la relation (2), on a :
[L z , H] = [L 1z + L 2z , H] = −i
x 1
∂f
∂y 1
− y 1
∂f
∂x 1
+ x 2
∂f
∂y 2
− y 2
∂f
∂x 2
(4)
Puisque f ne dépend que de |r 1 − r 2 |, on peut écrire :
∂f
∂y 1
=
∂f
∂|r 1 − r 2 |
∂|r 1 − r 2 |
∂y 1
=
∂f
∂|r 1 − r 2 |
y 1 − y 2
|r 1 − r 2 |
(5)
ainsi que des expressions analogues pour les autres dérivées partielles par rapport à x 1 , y 2 et
x 2 . L’expression (4) s’écrit alors :
[L z , H] = −i
∂f
∂|r 1 − r 2 |
1
|r 1 − r 2 |
× [x 1 (y 1 − y 2 ) − y 1 (x 1 − x 2 ) + x 2 (y 2 − y 1 ) − y 2 (x 2 − x 1 )] = 0
(6)
Des calculs analogues peuvent être faits pour les composantes L x et L y , aboutissant à
[L x , H] = 0 et [L y , H] = 0, d’où [L, H] = 0. L’hamiltonien H commute avec l’opérateur L.
Exercice 12.2. Intégrale d’échange de l’atome d’hélium
1. Montrer, en réalisation-|r 1 , r 2 , que le déplacement des niveaux d’énergie de l’atome d’hélium E
0
1n dû à l’interaction électrostatique entre les deux
électrons est de la forme A ± J avec J > 0.
2. Déterminer la disposition relative des niveaux des états triplet et singulet
de la configuration 1s 2s de l’atome d’hélium (l = l
= 0).
3. Quelle est la valeur des fonctions d’espace de l’état triplet lorsque
r 1 = r 2 ? Que peut-on en déduire sur la probabilité de présence des électrons lorsque r 1 = r 2 ? Retrouver la disposition relative des états singulet
et triplet déterminée à la question précédente.
Solution.
1. Notons c nlml (r i ), i = 1, 2, les fonctions d’onde de l’électron i en réalisation-|r 1 , r 2 . Les
vecteurs kets donnés par (12.3.16) s’écrivent :
C
±
100, nlml (r 1 , r 2 ) =
1
√
2
[c 100 (r 1 ) c nlml (r 2 ) ± c nlml (r 1 )c 100 (r 2 )]
(1)
Notons f (|r 1 − r 2 |) l’opérateur d’interaction électrostatique entre les électrons. L’énergie de
perturbation donnée par (12.3.20) s’écrit :
E
(1)
n, l, ± =
C
± ∗
100, nlml f C
±
100, nlml d
3 r 1 d
3 r 2
(2)