Exercices
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dire qu’il existe une certaine interaction spécifique des électrons conduisant à la dépendance de l’énergie du système vis-à-vis de son spin total ; cet effet est appelé
interaction d’échange. C’est un effet purement quantique qui disparaît à la limite
lorsqu’on passe à la mécanique classique.
c) Autres énergies d’interaction
Dans le cas de l’hélium, l’énergie d’interaction spin-orbite se calcule de façon analogue à celle qui a été utilisée pour l’atome d’hydrogène. Si, de plus, on prend en
compte les différentes interactions qui se produisent entre les deux spins et les deux
moments orbitaux, on obtient une levée de la dégénérescence des niveaux triplets en
trois sous-niveaux.
Une étude plus approfondie de l’atome d’hélium en tant qu’exemple type du problème à trois corps est faite dans le chapitre 14, après avoir traité au cours du chapitre 13 les atomes polyélectroniques et leur structure.
EXERCICES
Exercice 12.1. Hamiltonien de l’atome d’hélium
1. Écrire l’hamiltonien H de l’atome d’hélium en réalisation-|r 1 , r 2 , en
négligeant l’interaction spin-orbite. On notera f (|r 1 − r 2 |) l’énergie d’interaction électrostatique entre les électrons.
2. Soit L i , i = 1, 2, le moment cinétique orbital relatif à l’électron i.
L’hamiltonien H commute-t-il avec L i ?
3. Soit L = L 1 + L 2 . L’hamiltonien H commute-t-il avec L ?
Solution.
1. Soit : H i = (−
2 /2m e )D i + V(r i ), i = 1, 2, avec V(r i ) = −2e
2 /r i . L’hamiltonien de
l’atome d’hélium s’écrit :
H = H 1 + H 2 + f (|r 1 − r 2 |)
( 1 )
avec l’énergie d’interaction électrostatique égale à : f (|r 1 − r 2 |) = e
2 /|r 1 − r 2 |.
2. Le moment cinétique orbital L 1 commute avec H 1 , et également avec H 2 puisque les
variables de ce dernier sont distinctes de celles figurant dans L 1 . Le commutateur [L 1 , H] se
réduit donc à [L 1 , f (|r 1 − r 2 |)]. Pour la composante L 1z , par exemple, on a :
[L 1z , H] = [L 1z , f (|r 1 − r 2 |)] = −i
x 1
∂f
∂y 1
− y 1
∂f
∂x 1
(2)
En général, cette dernière expression ne sera pas nulle et L 1 n’est pas une constante du
mouvement lorsque les particules interagissent entre elles. Dans le cas présent, on a :
f (|r 1 − r 2 |) = e
2 /|r 1 − r 2 |, avec :
|r 1 − r 2 | = [(x 1 − x 2 )
2 + (y 1 − y 2 )
2 + (z 1 − z 2 )
2 ]
1/2
(3)
Un calcul simple montre que l’expression (2) n’est effectivement pas nulle dans ce cas et
l’hamiltonien H ne commute pas avec L 1 . Un calcul analogue montre qu’il en est de même
avec L 2 .
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dire qu’il existe une certaine interaction spécifique des électrons conduisant à la dépendance de l’énergie du système vis-à-vis de son spin total ; cet effet est appelé
interaction d’échange. C’est un effet purement quantique qui disparaît à la limite
lorsqu’on passe à la mécanique classique.
c) Autres énergies d’interaction
Dans le cas de l’hélium, l’énergie d’interaction spin-orbite se calcule de façon analogue à celle qui a été utilisée pour l’atome d’hydrogène. Si, de plus, on prend en
compte les différentes interactions qui se produisent entre les deux spins et les deux
moments orbitaux, on obtient une levée de la dégénérescence des niveaux triplets en
trois sous-niveaux.
Une étude plus approfondie de l’atome d’hélium en tant qu’exemple type du problème à trois corps est faite dans le chapitre 14, après avoir traité au cours du chapitre 13 les atomes polyélectroniques et leur structure.
EXERCICES
Exercice 12.1. Hamiltonien de l’atome d’hélium
1. Écrire l’hamiltonien H de l’atome d’hélium en réalisation-|r 1 , r 2 , en
négligeant l’interaction spin-orbite. On notera f (|r 1 − r 2 |) l’énergie d’interaction électrostatique entre les électrons.
2. Soit L i , i = 1, 2, le moment cinétique orbital relatif à l’électron i.
L’hamiltonien H commute-t-il avec L i ?
3. Soit L = L 1 + L 2 . L’hamiltonien H commute-t-il avec L ?
Solution.
1. Soit : H i = (−
2 /2m e )D i + V(r i ), i = 1, 2, avec V(r i ) = −2e
2 /r i . L’hamiltonien de
l’atome d’hélium s’écrit :
H = H 1 + H 2 + f (|r 1 − r 2 |)
( 1 )
avec l’énergie d’interaction électrostatique égale à : f (|r 1 − r 2 |) = e
2 /|r 1 − r 2 |.
2. Le moment cinétique orbital L 1 commute avec H 1 , et également avec H 2 puisque les
variables de ce dernier sont distinctes de celles figurant dans L 1 . Le commutateur [L 1 , H] se
réduit donc à [L 1 , f (|r 1 − r 2 |)]. Pour la composante L 1z , par exemple, on a :
[L 1z , H] = [L 1z , f (|r 1 − r 2 |)] = −i
x 1
∂f
∂y 1
− y 1
∂f
∂x 1
(2)
En général, cette dernière expression ne sera pas nulle et L 1 n’est pas une constante du
mouvement lorsque les particules interagissent entre elles. Dans le cas présent, on a :
f (|r 1 − r 2 |) = e
2 /|r 1 − r 2 |, avec :
|r 1 − r 2 | = [(x 1 − x 2 )
2 + (y 1 − y 2 )
2 + (z 1 − z 2 )
2 ]
1/2
(3)
Un calcul simple montre que l’expression (2) n’est effectivement pas nulle dans ce cas et
l’hamiltonien H ne commute pas avec L 1 . Un calcul analogue montre qu’il en est de même
avec L 2 .