286
12 • Identité des particules
Lorsqu’on excite l’atome, ce sont les niveaux intermédiaires entre E
0
11 et E
0
1∞ qui
seront occupés. On remarque en effet que pour n = n
= 2, par exemple, l’énergie
est : E
0
22 = −R He /2 > E
0
1∞ . Cela signifie que pour porter l’hélium dans l’état
n = n
= 2, il faut fournir à l’atome une énergie supérieure à celle d’ionisation. Or,
il n’est pas possible de garder, sauf durant un temps très court, deux électrons dans
un tel état puisqu’un électron sera désexcité dans un niveau d’énergie inférieure,
l’énergie libérée étant conférée à l’autre électron qui s’éjecte. C’est le phénomène
d’auto-ionisation à partir des états de diffusion qui présentent pendant un temps très
bref des caractéristiques d’un état lié, appelés résonances de Feshbach. Il en est
de même pour les autres valeurs de n et n
quelconques, sauf lorsque n = 1 et n
quelconque. En conséquence, les niveaux discrets de l’atome d’hélium sont donnés
par :
E
0
1n = −R He
1 +
1
n 2
(12.3.18)
Les kets (12.3.16) se réduisent finalement aux kets suivants :
|1, 0, 0 ; nlm l ± =
1
√
2
[|1, 0, 0 1 ⊗ |nlm l 2 ± |nlm l 1 ⊗ |1, 0, 0 2 ] (12.3.19)
12.3.3 Niveaux d’énergie de l’atome d’hélium
a) Énergie d’interaction coulombienne entre électrons
L’énergie potentielle e
2 /R 12 peut être considérée comme une perturbation. Bien que
cette énergie ne soit pas très petite par rapport à E
0
1n , la méthode des perturbations
donne cependant des résultats acceptables.
L’énergie de perturbation d’ordre un, E
(1) , correspondant aux états para et orthohélium est donnée par :
E
(1)
n, l, ± = ± 1, 0, 0 ; nlm l |
e
2
R 12
|1, 0, 0 ; nlm l ±
(12.3.20)
Il en résulte que la répulsion électrostatique entre les électrons lève la dégénérescence
en l.
b) Interaction d’échange
Remarquons qu’à une valeur donnée de l correspondent deux valeurs des énergies
de perturbation selon qu’on considère les états para ou orthohélium lors du calcul
des intégrales (12.3.20). L’énergie E
(1)
n, l, + correspond à des états para appartenant à
l’espace H
orb
S ⊗ S A , donc à des états de spin S = 0. De même, E
(1)
n, l, − correspond à
des états de spin S = 1.
Les niveaux d’énergie qui résultent de la levée de la dégénérescence par la perturbation e
2 /R 12 sont donc caractérisés par l mais également par le spin S bien que
n’interviennent pas explicitement dans e
2 /R 12 les spins des électrons. On peut donc
12 • Identité des particules
Lorsqu’on excite l’atome, ce sont les niveaux intermédiaires entre E
0
11 et E
0
1∞ qui
seront occupés. On remarque en effet que pour n = n
= 2, par exemple, l’énergie
est : E
0
22 = −R He /2 > E
0
1∞ . Cela signifie que pour porter l’hélium dans l’état
n = n
= 2, il faut fournir à l’atome une énergie supérieure à celle d’ionisation. Or,
il n’est pas possible de garder, sauf durant un temps très court, deux électrons dans
un tel état puisqu’un électron sera désexcité dans un niveau d’énergie inférieure,
l’énergie libérée étant conférée à l’autre électron qui s’éjecte. C’est le phénomène
d’auto-ionisation à partir des états de diffusion qui présentent pendant un temps très
bref des caractéristiques d’un état lié, appelés résonances de Feshbach. Il en est
de même pour les autres valeurs de n et n
quelconques, sauf lorsque n = 1 et n
quelconque. En conséquence, les niveaux discrets de l’atome d’hélium sont donnés
par :
E
0
1n = −R He
1 +
1
n 2
(12.3.18)
Les kets (12.3.16) se réduisent finalement aux kets suivants :
|1, 0, 0 ; nlm l ± =
1
√
2
[|1, 0, 0 1 ⊗ |nlm l 2 ± |nlm l 1 ⊗ |1, 0, 0 2 ] (12.3.19)
12.3.3 Niveaux d’énergie de l’atome d’hélium
a) Énergie d’interaction coulombienne entre électrons
L’énergie potentielle e
2 /R 12 peut être considérée comme une perturbation. Bien que
cette énergie ne soit pas très petite par rapport à E
0
1n , la méthode des perturbations
donne cependant des résultats acceptables.
L’énergie de perturbation d’ordre un, E
(1) , correspondant aux états para et orthohélium est donnée par :
E
(1)
n, l, ± = ± 1, 0, 0 ; nlm l |
e
2
R 12
|1, 0, 0 ; nlm l ±
(12.3.20)
Il en résulte que la répulsion électrostatique entre les électrons lève la dégénérescence
en l.
b) Interaction d’échange
Remarquons qu’à une valeur donnée de l correspondent deux valeurs des énergies
de perturbation selon qu’on considère les états para ou orthohélium lors du calcul
des intégrales (12.3.20). L’énergie E
(1)
n, l, + correspond à des états para appartenant à
l’espace H
orb
S ⊗ S A , donc à des états de spin S = 0. De même, E
(1)
n, l, − correspond à
des états de spin S = 1.
Les niveaux d’énergie qui résultent de la levée de la dégénérescence par la perturbation e
2 /R 12 sont donc caractérisés par l mais également par le spin S bien que
n’interviennent pas explicitement dans e
2 /R 12 les spins des électrons. On peut donc