12.3 Atome d’hélium
285
Remarque : Notons que l’espace S , défini par (12.3.11), est un espace vectoriel de représentation de D
(jj
) , pour j = j
= 1/2 du groupe SO(3), soit
D
(1/2, 1/2) = D
(1/2)
⊗ D
(1/2) . Selon la décomposition de Clebsch-Gordan, on a :
D
(1/2)
⊗ D
(1/2) = D
(1)
⊕ D
(0)
(12.3.15)
L’espace S S est donc l’espace de représentation de D
(1) et l’espace S A , celui
de D
(0) .
12.3.2 Spectre de H 0
a) Approximation des électrons indépendants
Lorsqu’on néglige l’énergie d’interaction des électrons entre eux ainsi que celle de
spin-orbite, l’hamiltonien du système à deux électrons est donné par (12.3.5). Notons |n l m l et |n
l
m
l les kets respectifs des électrons indépendants (1) et (2). Les
vecteurs de base de H
orb
S et H
orb
A sont donnés respectivement par (12.3.6) et (12.3.7).
Avec les notations des kets des atomes hydrogénoïdes, ces vecteurs s’écrivent :
1
√
2
[|nlm l 1 ⊗ |n
l
m
l 2 ± |n
l
m
l 1 ⊗ |nlm l 2 ]
(12.3.16)
Le spectre de H 0 est obtenu en appliquant l’hamiltonien H 0 aux vecteurs (12.3.16).
Le résultat est la somme des énergies des électrons (1) et (2), soit :
E
0
nn = −Z
2 m e e
4
2 2
1
n 2 +
1
n 2
(12.3.17)
Pour l’hélium, Z = 2 et le facteur R He = 2m e e
4 /
2 est égal à R He = 54,4 eV.
b) Niveau fondamental
Dans l’état fondamental, les orbitales individuelles sont |n = 1, l = 0, m l = 0 et
|n
= 1, l
= 0, m
l = 0. Le ket antisymétrique formé à partir de ces orbitales
est égal à zéro et l’hélium ne peut être, dans l’état fondamental, que dans un état
parahélium. Il en est d’ailleurs de même pour tous les états tels que n = n
, l = l
,
m l = m
l .
Le niveau d’énergie de l’état fondamental de l’hélium est, dans l’approximation
des électrons indépendants, selon (12.3.17) :
E
0
11 = −2R He = 108,8 eV.
c) Niveaux excités
Tous les niveaux excités décrits par (12.3.17) ne sont pas des niveaux discrets possibles pour l’atome d’hélium. On sait en effet que l’hélium peut être ionisé une ou
deux fois. L’énergie de l’ion He
+ , correspondant à n = 1 et n
= ∞, est alors :
E
0
1∞ = −R He .
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Remarque : Notons que l’espace S , défini par (12.3.11), est un espace vectoriel de représentation de D
(jj
) , pour j = j
= 1/2 du groupe SO(3), soit
D
(1/2, 1/2) = D
(1/2)
⊗ D
(1/2) . Selon la décomposition de Clebsch-Gordan, on a :
D
(1/2)
⊗ D
(1/2) = D
(1)
⊕ D
(0)
(12.3.15)
L’espace S S est donc l’espace de représentation de D
(1) et l’espace S A , celui
de D
(0) .
12.3.2 Spectre de H 0
a) Approximation des électrons indépendants
Lorsqu’on néglige l’énergie d’interaction des électrons entre eux ainsi que celle de
spin-orbite, l’hamiltonien du système à deux électrons est donné par (12.3.5). Notons |n l m l et |n
l
m
l les kets respectifs des électrons indépendants (1) et (2). Les
vecteurs de base de H
orb
S et H
orb
A sont donnés respectivement par (12.3.6) et (12.3.7).
Avec les notations des kets des atomes hydrogénoïdes, ces vecteurs s’écrivent :
1
√
2
[|nlm l 1 ⊗ |n
l
m
l 2 ± |n
l
m
l 1 ⊗ |nlm l 2 ]
(12.3.16)
Le spectre de H 0 est obtenu en appliquant l’hamiltonien H 0 aux vecteurs (12.3.16).
Le résultat est la somme des énergies des électrons (1) et (2), soit :
E
0
nn = −Z
2 m e e
4
2 2
1
n 2 +
1
n 2
(12.3.17)
Pour l’hélium, Z = 2 et le facteur R He = 2m e e
4 /
2 est égal à R He = 54,4 eV.
b) Niveau fondamental
Dans l’état fondamental, les orbitales individuelles sont |n = 1, l = 0, m l = 0 et
|n
= 1, l
= 0, m
l = 0. Le ket antisymétrique formé à partir de ces orbitales
est égal à zéro et l’hélium ne peut être, dans l’état fondamental, que dans un état
parahélium. Il en est d’ailleurs de même pour tous les états tels que n = n
, l = l
,
m l = m
l .
Le niveau d’énergie de l’état fondamental de l’hélium est, dans l’approximation
des électrons indépendants, selon (12.3.17) :
E
0
11 = −2R He = 108,8 eV.
c) Niveaux excités
Tous les niveaux excités décrits par (12.3.17) ne sont pas des niveaux discrets possibles pour l’atome d’hélium. On sait en effet que l’hélium peut être ionisé une ou
deux fois. L’énergie de l’ion He
+ , correspondant à n = 1 et n
= ∞, est alors :
E
0
1∞ = −R He .