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12 • Identité des particules
b) Espace des spins
Les kets physiques doivent tenir compte à la fois des orbitales (12.3.6) et (12.3.7)
et des vecteurs d’état de spin des électrons. Notons |a(i) et |b(i) les vecteurs individuels de spin ; ces vecteurs correspondent respectivement aux valeurs m s = 1/2
et m s = −1/2. Pour le système à deux électrons, l’espace des spins, noté S , est de
dimension quatre. Les vecteurs symétriques de S sont les suivants :
|a(1), a(2) ; |b(1), b(2)
|a(1), a(2) S =
1
√
2
[|a(1), b(2) + |a(2), b(1)]
(12.3.9)
Ces trois vecteurs correspondent à la valeur S = 1 du spin du système et respectivement à m S = 1, −1, 0. Il reste un vecteur antisymétrique :
|a(1), a(2) A =
1
√
2
[|a(1), b(2) − |a(2), b(1)]
(12.3.10)
Ce vecteur correspond à la valeur S = 0 du spin du système. Les quatre vecteurs
donnés par (12.3.9) et (12.3.10) forment une base orthonormée de l’espace des spins
S . Notons S A et S S les sous-espaces antisymétrique et symétrique ; on a la somme
directe des espaces :
S = S A ⊕ S S
(12.3.11)
c) Espace des états physiques
Formons à présent l’espace des vecteurs décrivant les états physiques du système qui
doivent être antisymétriques. Combinant une orbitale symétrique et un spin antisymétrique, on obtient un vecteur antisymétrique décrivant un état singulet :
|c(1), f(2) S ⊗
1
√
2
[|a(1), b(2) − |a(2), b(1)]
(12.3.12)
Ce vecteur forme une base d’un espace H
orb
S ⊗S A . Combinons également une orbitale
antisymétrique et un spin symétrique. On obtient ainsi trois vecteurs décrivant un état
triplet :
|c(1), f(2) A ⊗ |a(1), a(2) ; |c(1), f(2) A ⊗ |b(1), b(2)
|c(1), f(2) A ⊗
1
√
2
[|a(1), b(2) + |a(2), b(1)]
(12.3.13)
Ces trois vecteurs forment une base orthonormée d’un espace H
orb
A ⊗ S S . L’espace
des vecteurs physiques est la somme directe :
H physique = (H
orb
S ⊗ S A ) ⊕ (H
orb
A ⊗ S S )
(12.3.14)
Les états décrits par les vecteurs de l’espace H
orb
S ⊗ S A sont les états singulets de
l’hélium, appelés états du parahélium. Les états de H
orb
A ⊗ S S sont des états triplets
appelés états de l’orthohélium.
12 • Identité des particules
b) Espace des spins
Les kets physiques doivent tenir compte à la fois des orbitales (12.3.6) et (12.3.7)
et des vecteurs d’état de spin des électrons. Notons |a(i) et |b(i) les vecteurs individuels de spin ; ces vecteurs correspondent respectivement aux valeurs m s = 1/2
et m s = −1/2. Pour le système à deux électrons, l’espace des spins, noté S , est de
dimension quatre. Les vecteurs symétriques de S sont les suivants :
|a(1), a(2) ; |b(1), b(2)
|a(1), a(2) S =
1
√
2
[|a(1), b(2) + |a(2), b(1)]
(12.3.9)
Ces trois vecteurs correspondent à la valeur S = 1 du spin du système et respectivement à m S = 1, −1, 0. Il reste un vecteur antisymétrique :
|a(1), a(2) A =
1
√
2
[|a(1), b(2) − |a(2), b(1)]
(12.3.10)
Ce vecteur correspond à la valeur S = 0 du spin du système. Les quatre vecteurs
donnés par (12.3.9) et (12.3.10) forment une base orthonormée de l’espace des spins
S . Notons S A et S S les sous-espaces antisymétrique et symétrique ; on a la somme
directe des espaces :
S = S A ⊕ S S
(12.3.11)
c) Espace des états physiques
Formons à présent l’espace des vecteurs décrivant les états physiques du système qui
doivent être antisymétriques. Combinant une orbitale symétrique et un spin antisymétrique, on obtient un vecteur antisymétrique décrivant un état singulet :
|c(1), f(2) S ⊗
1
√
2
[|a(1), b(2) − |a(2), b(1)]
(12.3.12)
Ce vecteur forme une base d’un espace H
orb
S ⊗S A . Combinons également une orbitale
antisymétrique et un spin symétrique. On obtient ainsi trois vecteurs décrivant un état
triplet :
|c(1), f(2) A ⊗ |a(1), a(2) ; |c(1), f(2) A ⊗ |b(1), b(2)
|c(1), f(2) A ⊗
1
√
2
[|a(1), b(2) + |a(2), b(1)]
(12.3.13)
Ces trois vecteurs forment une base orthonormée d’un espace H
orb
A ⊗ S S . L’espace
des vecteurs physiques est la somme directe :
H physique = (H
orb
S ⊗ S A ) ⊕ (H
orb
A ⊗ S S )
(12.3.14)
Les états décrits par les vecteurs de l’espace H
orb
S ⊗ S A sont les états singulets de
l’hélium, appelés états du parahélium. Les états de H
orb
A ⊗ S S sont des états triplets
appelés états de l’orthohélium.