12.3 Atome d’hélium
283
L’énergie des électrons de masse m e qui se déplacent dans le champ central créé
par la charge Ze 0 est donnée par :
E =
1
2m e
(p
2
1 + p
2
2 ) −
Ze
2
r 1
−
Ze
2
r 2
+
e
2
r 12
(12.3.1)
où r 1 et r 2 sont respectivement les distances des électrons (1) et (2) à la charge Ze 0
du noyau ; r 12 est la distance relative entre les deux électrons.
L’opérateur hamiltonien du système s’obtient en remplaçant les distances r 1 , r 2 ,
r 12 respectivement par les opérateurs R 1 , R 2 , R 12 ; les impulsions p 1 et p 2 sont remplacées par les opérateurs P 1 et P 2 . Considérant de plus le spin des électrons, nous
ajoutons un opérateur H 1 qui représente l’interaction spin-orbite. L’hamiltonien du
système est alors :
H =
1
2m e
(P
2
1 + P
2
2 ) −
Ze
2
R 1
−
Ze
2
R 2
+
e
2
R 12
+ H 1
(12.3.2)
a) Espaces symétrique et antisymétrique des orbitales
Lors d’une première approximation, négligeons l’énergie d’interaction e
2 /R 12 ainsi
que celle de spin-orbite H 1 . Définissons les hamiltoniens relatifs à chaque particule,
soit :
h a =
1
2m e
P
2
a −
Ze
2
R a
; a = 1, 2
(12.3.3)
L’opérateur h a agit sur les vecteurs d’état de l’espace H a relatifs à l’électron a ; c’est
l’hamiltonien d’un ion hydrogénoïde. Formons l’espace H défini par :
H = H 1 ⊗ H 2
(12.3.4)
L’hamiltonien H 0 agissant sur les vecteurs H est défini par :
H 0 = h 1 ⊗ 1 1 + 1 1 ⊗ h 2
(12.3.5)
Notons |c(1) et |f(2) les vecteurs, ou orbitales, des espaces respectifs H 1 et
H 2 . Chacun de ces vecteurs est caractérisé par un jeu de trois nombres quantiques
n, l, m l . Les orbitales symétriques et antisymétriques normalisées sont les suivantes :
|c(1), f(2) S =
1
√
2
[|c(1), f(2) + |c(2), f(1)]
(12.3.6)
|c(1), f(2) A =
1
√
2
[|c(1), f(2) − |c(2), f(1)]
(12.3.7)
Notons H
orb
S et H
orb
A les espaces formés respectivement par les orbitales symétriques
et antisymétriques. L’espace H est la somme directe :
H = H
orb
S ⊕ H
orb
A
(12.3.8)
Remarquons que la décomposition de H en une somme directe des espaces symétrique et antisymétrique est un cas particulier pour N = 2 mais n’est plus vraie pour
N > 2.
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L’énergie des électrons de masse m e qui se déplacent dans le champ central créé
par la charge Ze 0 est donnée par :
E =
1
2m e
(p
2
1 + p
2
2 ) −
Ze
2
r 1
−
Ze
2
r 2
+
e
2
r 12
(12.3.1)
où r 1 et r 2 sont respectivement les distances des électrons (1) et (2) à la charge Ze 0
du noyau ; r 12 est la distance relative entre les deux électrons.
L’opérateur hamiltonien du système s’obtient en remplaçant les distances r 1 , r 2 ,
r 12 respectivement par les opérateurs R 1 , R 2 , R 12 ; les impulsions p 1 et p 2 sont remplacées par les opérateurs P 1 et P 2 . Considérant de plus le spin des électrons, nous
ajoutons un opérateur H 1 qui représente l’interaction spin-orbite. L’hamiltonien du
système est alors :
H =
1
2m e
(P
2
1 + P
2
2 ) −
Ze
2
R 1
−
Ze
2
R 2
+
e
2
R 12
+ H 1
(12.3.2)
a) Espaces symétrique et antisymétrique des orbitales
Lors d’une première approximation, négligeons l’énergie d’interaction e
2 /R 12 ainsi
que celle de spin-orbite H 1 . Définissons les hamiltoniens relatifs à chaque particule,
soit :
h a =
1
2m e
P
2
a −
Ze
2
R a
; a = 1, 2
(12.3.3)
L’opérateur h a agit sur les vecteurs d’état de l’espace H a relatifs à l’électron a ; c’est
l’hamiltonien d’un ion hydrogénoïde. Formons l’espace H défini par :
H = H 1 ⊗ H 2
(12.3.4)
L’hamiltonien H 0 agissant sur les vecteurs H est défini par :
H 0 = h 1 ⊗ 1 1 + 1 1 ⊗ h 2
(12.3.5)
Notons |c(1) et |f(2) les vecteurs, ou orbitales, des espaces respectifs H 1 et
H 2 . Chacun de ces vecteurs est caractérisé par un jeu de trois nombres quantiques
n, l, m l . Les orbitales symétriques et antisymétriques normalisées sont les suivantes :
|c(1), f(2) S =
1
√
2
[|c(1), f(2) + |c(2), f(1)]
(12.3.6)
|c(1), f(2) A =
1
√
2
[|c(1), f(2) − |c(2), f(1)]
(12.3.7)
Notons H
orb
S et H
orb
A les espaces formés respectivement par les orbitales symétriques
et antisymétriques. L’espace H est la somme directe :
H = H
orb
S ⊕ H
orb
A
(12.3.8)
Remarquons que la décomposition de H en une somme directe des espaces symétrique et antisymétrique est un cas particulier pour N = 2 mais n’est plus vraie pour
N > 2.