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12 • Identité des particules
a) État fondamental : bosons
Supposons que le spectre des h(i) soit discret et non dégénéré. Si le système est formé
de bosons, les kets physiques sont de la forme (12.2.2) et l’énergie correspondante
est la somme des N énergies individuelles E ni :
E n1, n2, ..., nN = E n1 + E n2 + · · · + E nN
(12.2.7)
Dans l’état fondamental du système, tous les bosons sont dans l’état |c 1 correspondant à l’état de plus basse énergie E 1 . L’énergie de l’état fondamental est donc :
E 1, 1, ..., 1 = NE 1
(12.2.8)
et son vecteur d’état physique est :
|c
(S)
1, 1, ..., 1 (1, 2, ..., N) = |u 1 (1), u 1 (2), ..., u 1 (N)
(12.2.9)
b) État fondamental : fermions
Lorsque le système est constitué de fermions identiques, les kets physiques sont des
déterminants de Slater et les énergies du système sont toujours des sommes de la
forme (12.2.7) mais les niveaux individuels ne peuvent plus être quelconques. En
particulier, dans l’état fondamental, les N fermions ne peuvent pas se trouver dans
le même état |c 1 . Supposons les énergies individuelles E n ordonnées par valeurs
croissantes, alors l’énergie de l’état fondamental est :
E 1, 2, ... N = E 1 + E 2 + · · · + E N
(12.2.10)
et cet état est décrit par le déterminant de Slater normé :
|c
(A)
1, 2, ... N (1, 2, ..., N) =
1
√
N!
|u 1 (1) |u 2 (1) ... |u N (1)
|u 1 (2) |u 2 (2) ... |u N (2)
...
...
...
...
|u 1 (N) |u 2 (N) ... |u N (N)
(12.2.11)
On appelle énergie de Fermi du système, l’énergie individuelle la plus élevée, E N ,
atteinte dans son état fondamental. Remarquons que les énergies individuelles E n
sont souvent dégénérées. Dans ce cas, ces énergies peuvent être prises en compte
dans (12.2.10) un nombre de fois égal à leur degré de dégénérescence.
12.3 ATOME D’HÉLIUM
12.3.1 Espace des vecteurs d’états physiques
Illustrons les principes précédents sur l’exemple d’un système de deux électrons situés dans le champ coulombien d’un noyau de charge Ze 0 . C’est le cas de l’atome
d’hélium (Z = 2) mais également des atomes ionisés (Z − 2) fois.
12 • Identité des particules
a) État fondamental : bosons
Supposons que le spectre des h(i) soit discret et non dégénéré. Si le système est formé
de bosons, les kets physiques sont de la forme (12.2.2) et l’énergie correspondante
est la somme des N énergies individuelles E ni :
E n1, n2, ..., nN = E n1 + E n2 + · · · + E nN
(12.2.7)
Dans l’état fondamental du système, tous les bosons sont dans l’état |c 1 correspondant à l’état de plus basse énergie E 1 . L’énergie de l’état fondamental est donc :
E 1, 1, ..., 1 = NE 1
(12.2.8)
et son vecteur d’état physique est :
|c
(S)
1, 1, ..., 1 (1, 2, ..., N) = |u 1 (1), u 1 (2), ..., u 1 (N)
(12.2.9)
b) État fondamental : fermions
Lorsque le système est constitué de fermions identiques, les kets physiques sont des
déterminants de Slater et les énergies du système sont toujours des sommes de la
forme (12.2.7) mais les niveaux individuels ne peuvent plus être quelconques. En
particulier, dans l’état fondamental, les N fermions ne peuvent pas se trouver dans
le même état |c 1 . Supposons les énergies individuelles E n ordonnées par valeurs
croissantes, alors l’énergie de l’état fondamental est :
E 1, 2, ... N = E 1 + E 2 + · · · + E N
(12.2.10)
et cet état est décrit par le déterminant de Slater normé :
|c
(A)
1, 2, ... N (1, 2, ..., N) =
1
√
N!
|u 1 (1) |u 2 (1) ... |u N (1)
|u 1 (2) |u 2 (2) ... |u N (2)
...
...
...
...
|u 1 (N) |u 2 (N) ... |u N (N)
(12.2.11)
On appelle énergie de Fermi du système, l’énergie individuelle la plus élevée, E N ,
atteinte dans son état fondamental. Remarquons que les énergies individuelles E n
sont souvent dégénérées. Dans ce cas, ces énergies peuvent être prises en compte
dans (12.2.10) un nombre de fois égal à leur degré de dégénérescence.
12.3 ATOME D’HÉLIUM
12.3.1 Espace des vecteurs d’états physiques
Illustrons les principes précédents sur l’exemple d’un système de deux électrons situés dans le champ coulombien d’un noyau de charge Ze 0 . C’est le cas de l’atome
d’hélium (Z = 2) mais également des atomes ionisés (Z − 2) fois.