12.2 Construction des vecteurs d’états physiques
281
b) Système de fermions
Considérons tout d’abord un système formé de trois fermions identiques. Soient
|u j (1), |u k (2) et |u l (3) les kets normés des états individuels de ces fermions. Le
vecteur |u = |u j (1), u k (2), u l (3) est antisymétrisé par application de A, d’où :
A|u =
1
√
3!
3!
h=1
´ h P h |u j (1), u k (2), u l (3)
(12.2.3)
On remarque que les signes des termes de la somme (12.2.3) sont les mêmes que
ceux obtenus lors du développement d’un déterminant d’ordre trois. On peut donc
écrire (12.2.3) sous la forme d’un déterminant de Slater :
A|u =
1
√
3!
|u j (1) |u k (1) |u l (1)
|u j (2) |u k (2) |u l (2)
|u j (3) |u k (3) |u l (3)
(12.2.4)
Le vecteur A|u change bien de signe si l’on permute deux particules entre elles car
ceci revient à permuter deux lignes du déterminant qui alors change de signe. Si
deux états individuels sont identiques, par exemple, |u j = |u k , le déterminant a
alors deux colonnes identiques et A|u est nul. Un tel état physique est donc exclu
par le postulat de symétrisation et deux fermions ne peuvent pas se trouver dans le
même état individuel.
Pour un système formé de N fermions identiques, le déterminant de Slater (12.2.4)
se généralise en formant N colonnes dans lesquelles on porte un état individuel pour
chacune des particules. On obtient un déterminant d’ordre N ce qui exclut le cas où
deux états individuels coïncident. On en déduit :
Principe d’exclusion de Pauli. Dans un système de fermions identiques, plusieurs
fermions ne peuvent occuper simultanément le même état quantique.
12.2.3 Niveaux d’énergie d’un système de particules indépendantes
Considérons un système de N particules identiques indépendantes, c’est-à-dire n’interagissant pas entre elles ou tout au moins dont on peut négliger les interactions en
première approximation. L’hamiltonien du système est alors une somme d’hamiltoniens relatifs à chacune des particules :
H(1, 2, ..., N) =
N
i=1
h(i)
(12.2.5)
Les valeurs et les états propres de H sont déterminés en calculant ceux d’un hamiltonien individuel :
h(i)|c ni = E ni |c ni
(12.2.6)
281
b) Système de fermions
Considérons tout d’abord un système formé de trois fermions identiques. Soient
|u j (1), |u k (2) et |u l (3) les kets normés des états individuels de ces fermions. Le
vecteur |u = |u j (1), u k (2), u l (3) est antisymétrisé par application de A, d’où :
A|u =
1
√
3!
3!
h=1
´ h P h |u j (1), u k (2), u l (3)
(12.2.3)
On remarque que les signes des termes de la somme (12.2.3) sont les mêmes que
ceux obtenus lors du développement d’un déterminant d’ordre trois. On peut donc
écrire (12.2.3) sous la forme d’un déterminant de Slater :
A|u =
1
√
3!
|u j (1) |u k (1) |u l (1)
|u j (2) |u k (2) |u l (2)
|u j (3) |u k (3) |u l (3)
(12.2.4)
Le vecteur A|u change bien de signe si l’on permute deux particules entre elles car
ceci revient à permuter deux lignes du déterminant qui alors change de signe. Si
deux états individuels sont identiques, par exemple, |u j = |u k , le déterminant a
alors deux colonnes identiques et A|u est nul. Un tel état physique est donc exclu
par le postulat de symétrisation et deux fermions ne peuvent pas se trouver dans le
même état individuel.
Pour un système formé de N fermions identiques, le déterminant de Slater (12.2.4)
se généralise en formant N colonnes dans lesquelles on porte un état individuel pour
chacune des particules. On obtient un déterminant d’ordre N ce qui exclut le cas où
deux états individuels coïncident. On en déduit :
Principe d’exclusion de Pauli. Dans un système de fermions identiques, plusieurs
fermions ne peuvent occuper simultanément le même état quantique.
12.2.3 Niveaux d’énergie d’un système de particules indépendantes
Considérons un système de N particules identiques indépendantes, c’est-à-dire n’interagissant pas entre elles ou tout au moins dont on peut négliger les interactions en
première approximation. L’hamiltonien du système est alors une somme d’hamiltoniens relatifs à chacune des particules :
H(1, 2, ..., N) =
N
i=1
h(i)
(12.2.5)
Les valeurs et les états propres de H sont déterminés en calculant ceux d’un hamiltonien individuel :
h(i)|c ni = E ni |c ni
(12.2.6)