280
12 • Identité des particules
12.2.1 Unicité d’un vecteur d’état physique
Soit |u = |u j (1), u k (2), ..., u l (N) un vecteur normé, susceptible de décrire mathématiquement un état physique d’un système comportant N particules. Notons H u
l’espace engendré par |u et par toutes ses transformées P h |u, où les P h sont les
opérateurs de permutation.
Tous les kets de H u pourraient mathématiquement décrire l’état physique considéré mais le postulat de symétrisation restreint le choix puisque les kets mathématiques susceptibles de décrire un état physique doivent appartenir à H S pour les bosons ou H A pour les fermions. Nous allons voir que H u contient un seul ket de H S
ou un seul ket de H A , ce qui permet de déterminer le ket de H u qui doit représenter
un état physique donné du système.
➤ Vecteurs physiques
Appliquons les opérateurs S et A au vecteur ket |u en utilisant les propriétés respectives (12.1.18) et (12.1.19) ; on obtient :
S|u = SP a |u ; A|u = ´ a AP a |u
(12.2.1)
Les opérateurs S et A étant des projecteurs respectivement sur H S et H A , les relations
(12.2.1) montrent que les projections de tous les vecteurs de H u sur H S ou H A sont
colinéaires. Ainsi le vecteur S|u est le ket de H u qui doit être associé à un état
physique donné d’un système de bosons et ce vecteur, à un facteur de phase près,
est unique. De même, pour un système de fermions, c’est le vecteur A|u qui est le
vecteur d’état. Nous appellerons les vecteurs S|u et A|u, les vecteurs physiques des
états d’un système.
12.2.2 Construction des vecteurs d’états physiques
Pour obtenir le ket physique correspondant à un état donné d’un système de N particules identiques, il faut d’abord obtenir les kets individuels des particules permettant
de construire le vecteur |u correspondant à l’état physique considéré. Le vecteur
S|u, ou A|u, est alors normé et constitue ainsi le vecteur d’état physique cherché.
a) Système de bosons
Soit un système formé de N bosons identiques. Notons |u k (i) l’état individuel du
boson i et soit |u = |u j (1), u k (2), ..., u l (N), le vecteur |u étant supposé normé.
Après application du symétriseur S au ket |u, on obtient le vecteur d’état physique
du système qui a pour expression, après normalisation :
|c jk...l (1, 2, ..., N) =
1
√
N!
N!
h=1
P h |u j (1), u k (2), ..., u l (N)
(12.2.2)
où P h spécifie une permutation des particules dans les divers états individuels. Notons que certains indices j, k, ..., l peuvent se répéter et donc plusieurs particules
peuvent se trouver dans le même état individuel.
12 • Identité des particules
12.2.1 Unicité d’un vecteur d’état physique
Soit |u = |u j (1), u k (2), ..., u l (N) un vecteur normé, susceptible de décrire mathématiquement un état physique d’un système comportant N particules. Notons H u
l’espace engendré par |u et par toutes ses transformées P h |u, où les P h sont les
opérateurs de permutation.
Tous les kets de H u pourraient mathématiquement décrire l’état physique considéré mais le postulat de symétrisation restreint le choix puisque les kets mathématiques susceptibles de décrire un état physique doivent appartenir à H S pour les bosons ou H A pour les fermions. Nous allons voir que H u contient un seul ket de H S
ou un seul ket de H A , ce qui permet de déterminer le ket de H u qui doit représenter
un état physique donné du système.
➤ Vecteurs physiques
Appliquons les opérateurs S et A au vecteur ket |u en utilisant les propriétés respectives (12.1.18) et (12.1.19) ; on obtient :
S|u = SP a |u ; A|u = ´ a AP a |u
(12.2.1)
Les opérateurs S et A étant des projecteurs respectivement sur H S et H A , les relations
(12.2.1) montrent que les projections de tous les vecteurs de H u sur H S ou H A sont
colinéaires. Ainsi le vecteur S|u est le ket de H u qui doit être associé à un état
physique donné d’un système de bosons et ce vecteur, à un facteur de phase près,
est unique. De même, pour un système de fermions, c’est le vecteur A|u qui est le
vecteur d’état. Nous appellerons les vecteurs S|u et A|u, les vecteurs physiques des
états d’un système.
12.2.2 Construction des vecteurs d’états physiques
Pour obtenir le ket physique correspondant à un état donné d’un système de N particules identiques, il faut d’abord obtenir les kets individuels des particules permettant
de construire le vecteur |u correspondant à l’état physique considéré. Le vecteur
S|u, ou A|u, est alors normé et constitue ainsi le vecteur d’état physique cherché.
a) Système de bosons
Soit un système formé de N bosons identiques. Notons |u k (i) l’état individuel du
boson i et soit |u = |u j (1), u k (2), ..., u l (N), le vecteur |u étant supposé normé.
Après application du symétriseur S au ket |u, on obtient le vecteur d’état physique
du système qui a pour expression, après normalisation :
|c jk...l (1, 2, ..., N) =
1
√
N!
N!
h=1
P h |u j (1), u k (2), ..., u l (N)
(12.2.2)
où P h spécifie une permutation des particules dans les divers états individuels. Notons que certains indices j, k, ..., l peuvent se répéter et donc plusieurs particules
peuvent se trouver dans le même état individuel.