12.2 Construction des vecteurs d’états physiques
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12.1.5 Postulat de symétrisation
Les fonctions d’onde d’un système de particules identiques doivent être soit complètement symétriques, soit complètement antisymétriques. C’est le postulat de symétrisation qu’on peut énoncer de façon générale :
Les vecteurs d’état d’un système de particules identiques sont, suivant la nature des particules, soit complètement symétriques, soit complètement antisymétriques par rapport aux permutations de ces particules.
a) Bosons et fermions
Les particules pour lesquelles les vecteurs d’état sont complètement symétriques sont
appelées des bosons et elles obéissent à la statistique de Bose-Einstein. Lorsque les
vecteurs d’état sont complètement antisymétriques, les particules sont appelées des
fermions et elles obéissent à la statistique de Fermi-Dirac.
Toutes les particules quantiques actuellement connues se classent dans l’une de
ces deux catégories et elles vérifient la propriété expérimentale suivante : les bosons
sont des particules de spin entier alors que les fermions ont un spin demi-entier.
Parmi les particules les plus classiques, notons que les électrons, protons, neutrons,
muons, etc. sont des fermions. Les photons, mésons, etc. sont des bosons.
b) Particules composées
Considérons des particules quantiques formées elles-mêmes de bosons ou de fermions. Ces particules composées, notées A, vont être elles-mêmes des bosons ou des
fermions selon la parité du nombre de fermions élémentaires qui les composent.
En effet, si l’on permute deux particules de type A, la permutation de leurs bosons constitutifs n’affecte pas le vecteur d’état ; seule la permutation des fermions la
fait changer de signe. Donc si A ne comporte que des bosons, le vecteur d’état reste
inchangé. Si A contient un nombre pair de fermions, on a un nombre pair de changements de signe lors de la permutation des particules A et leur ket reste inchangé. Les
particules A sont dans ce cas des bosons.
Par contre, une permutation de deux particules A, comportant un nombre impair
de fermions, engendre un nombre impair de changements de signe du vecteur d’état
et les particules A sont des fermions.
Ainsi les noyaux atomiques constitués d’un nombre impair de nucléons sont des
fermions tandis que ceux qui sont formés d’un nombre pair sont des bosons.
12.2 CONSTRUCTION DES VECTEURS D’ÉTATS PHYSIQUES
Considérons un système formé de N particules identiques, bosons ou fermions, tel
qu’on puisse négliger les interactions entre particules. Supposons connus les états
individuels |u k (i) de chaque particule i. Quelle est l’expression du vecteur d’état du
système décrivant un état physique donné, en fonction des |u k (i) ?
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12.1.5 Postulat de symétrisation
Les fonctions d’onde d’un système de particules identiques doivent être soit complètement symétriques, soit complètement antisymétriques. C’est le postulat de symétrisation qu’on peut énoncer de façon générale :
Les vecteurs d’état d’un système de particules identiques sont, suivant la nature des particules, soit complètement symétriques, soit complètement antisymétriques par rapport aux permutations de ces particules.
a) Bosons et fermions
Les particules pour lesquelles les vecteurs d’état sont complètement symétriques sont
appelées des bosons et elles obéissent à la statistique de Bose-Einstein. Lorsque les
vecteurs d’état sont complètement antisymétriques, les particules sont appelées des
fermions et elles obéissent à la statistique de Fermi-Dirac.
Toutes les particules quantiques actuellement connues se classent dans l’une de
ces deux catégories et elles vérifient la propriété expérimentale suivante : les bosons
sont des particules de spin entier alors que les fermions ont un spin demi-entier.
Parmi les particules les plus classiques, notons que les électrons, protons, neutrons,
muons, etc. sont des fermions. Les photons, mésons, etc. sont des bosons.
b) Particules composées
Considérons des particules quantiques formées elles-mêmes de bosons ou de fermions. Ces particules composées, notées A, vont être elles-mêmes des bosons ou des
fermions selon la parité du nombre de fermions élémentaires qui les composent.
En effet, si l’on permute deux particules de type A, la permutation de leurs bosons constitutifs n’affecte pas le vecteur d’état ; seule la permutation des fermions la
fait changer de signe. Donc si A ne comporte que des bosons, le vecteur d’état reste
inchangé. Si A contient un nombre pair de fermions, on a un nombre pair de changements de signe lors de la permutation des particules A et leur ket reste inchangé. Les
particules A sont dans ce cas des bosons.
Par contre, une permutation de deux particules A, comportant un nombre impair
de fermions, engendre un nombre impair de changements de signe du vecteur d’état
et les particules A sont des fermions.
Ainsi les noyaux atomiques constitués d’un nombre impair de nucléons sont des
fermions tandis que ceux qui sont formés d’un nombre pair sont des bosons.
12.2 CONSTRUCTION DES VECTEURS D’ÉTATS PHYSIQUES
Considérons un système formé de N particules identiques, bosons ou fermions, tel
qu’on puisse négliger les interactions entre particules. Supposons connus les états
individuels |u k (i) de chaque particule i. Quelle est l’expression du vecteur d’état du
système décrivant un état physique donné, en fonction des |u k (i) ?