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12 • Identité des particules
b) Transposition
Considérons à présent un système comportant N particules. On appelle transposition
une permutation qui échange seulement deux particules entre elles sans toucher aux
autres. Les opérateurs de transposition ont les mêmes propriétés que l’opérateur P 21
puisque seules deux particules sont concernées par une transposition.
Or toute permutation peut être décomposée en un produit de transpositions. Par
suite, tout opérateur de permutation P h est un produit d’opérateurs de transposition
tous unitaires et il s’ensuit que P h est unitaire.
c) Symétriseur et antisymétriseur
Définissons les opérateurs S et A par :
S =
1
N!
h
P h ; A =
1
N!
h
´ h P h
(12.1.14)
où les sommations sont étendues aux N ! permutations des N premiers entiers. Nous
allons voir que S et A sont respectivement des projecteurs sur H S et H A . Ils sont
appelés pour cette raison symétriseur et antisymétriseur .
Montrons d’abord que le symétriseur S et l’antisymétriseur A sont tels que :
SP a = P a S = S ; P a A = AP a = ´ a A
(12.1.15)
où P h est un opérateur de permutation quelconque. En effet, P h P a = P b est encore
un opérateur de permutation tel que ´ h = ´ a ´ b . Pour P a fixé, prenons successivement toutes les permutations P h du groupe des N ! permutations ; alors les produits
P b redonnent une fois et une seule chacune de ces permutations puisqu’on obtient
ainsi tous les éléments du groupe. On a :
SP a =
1
N!
h
P h P a =
1
N!
b
P b = S
(12.1.16)
AP a =
1
N!
h
´ h P h P a =
1
N!
´ a
b
´ b P b = ´ a A
(12.1.17)
La démonstration est analogue pour P a S = S et P a A = A. Tout vecteur S|c est un
vecteur symétrique puisque, selon (12.1.15), on a :
P a S|c = S|c
(12.1.18)
L’opérateur S transforme donc tout vecteur |c en un vecteur symétrique ; c’est un
projecteur sur l’espace H S . De même :
P a A|c = ´ a A|c
(12.1.19)
et A est un projecteur sur l’espace H A .
12 • Identité des particules
b) Transposition
Considérons à présent un système comportant N particules. On appelle transposition
une permutation qui échange seulement deux particules entre elles sans toucher aux
autres. Les opérateurs de transposition ont les mêmes propriétés que l’opérateur P 21
puisque seules deux particules sont concernées par une transposition.
Or toute permutation peut être décomposée en un produit de transpositions. Par
suite, tout opérateur de permutation P h est un produit d’opérateurs de transposition
tous unitaires et il s’ensuit que P h est unitaire.
c) Symétriseur et antisymétriseur
Définissons les opérateurs S et A par :
S =
1
N!
h
P h ; A =
1
N!
h
´ h P h
(12.1.14)
où les sommations sont étendues aux N ! permutations des N premiers entiers. Nous
allons voir que S et A sont respectivement des projecteurs sur H S et H A . Ils sont
appelés pour cette raison symétriseur et antisymétriseur .
Montrons d’abord que le symétriseur S et l’antisymétriseur A sont tels que :
SP a = P a S = S ; P a A = AP a = ´ a A
(12.1.15)
où P h est un opérateur de permutation quelconque. En effet, P h P a = P b est encore
un opérateur de permutation tel que ´ h = ´ a ´ b . Pour P a fixé, prenons successivement toutes les permutations P h du groupe des N ! permutations ; alors les produits
P b redonnent une fois et une seule chacune de ces permutations puisqu’on obtient
ainsi tous les éléments du groupe. On a :
SP a =
1
N!
h
P h P a =
1
N!
b
P b = S
(12.1.16)
AP a =
1
N!
h
´ h P h P a =
1
N!
´ a
b
´ b P b = ´ a A
(12.1.17)
La démonstration est analogue pour P a S = S et P a A = A. Tout vecteur S|c est un
vecteur symétrique puisque, selon (12.1.15), on a :
P a S|c = S|c
(12.1.18)
L’opérateur S transforme donc tout vecteur |c en un vecteur symétrique ; c’est un
projecteur sur l’espace H S . De même :
P a A|c = ´ a A|c
(12.1.19)
et A est un projecteur sur l’espace H A .