12.1 Particules indiscernables
277
Pour chaque permutation entre les N particules, on peut ainsi définir un opérateur qui,
agissant sur un des vecteurs de la base initiale (12.1.6), donne un vecteur correspondant à la permutation considérée. Comme il existe N ! permutations des particules,
on peut définir N ! opérateurs de permutation.
b) Kets complètement symétriques ou antisymétriques
Représentons par le symbole h une permutation quelconque des N premiers entiers
et notons P h l’opérateur de permutation correspondant. L’action de P h sur un vecteur
ket quelconque de l’espace des états s’obtient simplement en développant ce ket sur
la base (12.1.6). Quelle que soit la permutation P h , un ket |c S tel que :
P h |c S = |c S
(12.1.9)
est appelé un ket complètement symétrique. De même, pour toute permutation P h ,
un ket |c A tel que :
P h |c A = ´ h |c A
(12.1.10)
avec : ´ h = 1 si P h correspond à une permutation paire,
´ h = −1 si P h correspond à une permutation impaire
est appelé un ket complètement antisymétrique. L’ensemble des kets |c S forme un
sous-espace vectoriel H S de l’espace des états H et l’ensemble des kets |c A , un
sous-espace H A .
12.1.4 Propriétés des opérateurs de permutation
L’ensemble des N ! opérateurs de permutation relatifs aux permutations de N particules constitue un groupe ainsi qu’il est facile de le vérifier. Notons que les opérateurs
de permutation ne commutent pas entre eux.
a) Opérateur unitaire P 21
Montrons que les opérateurs de permutation sont unitaires. Pour cela, considérons un
système formé de deux particules et notons P 21 l’opérateur de permutation correspondant à la permutation de la particule 1 avec la particule 2. La définition (12.1.8)
montre qu’on a :
(P 21 )
2 = 1 1
(12.1.11)
D’autre part, calculant les éléments de matrice de P 21 et P
†
21 , on trouve que ces éléments sont égaux entre eux, d’où :
P
†
21 = P 21
(12.1.12)
En multipliant à gauche ou à droite chaque terme de (12.1.12) par P 21 , et en tenant
compte de (12.1.11), on obtient :
P
†
21 P 21 = P 21 P
†
21 = 1 1
(12.1.13)
ce qui montre que P 21 est un opérateur unitaire.
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Pour chaque permutation entre les N particules, on peut ainsi définir un opérateur qui,
agissant sur un des vecteurs de la base initiale (12.1.6), donne un vecteur correspondant à la permutation considérée. Comme il existe N ! permutations des particules,
on peut définir N ! opérateurs de permutation.
b) Kets complètement symétriques ou antisymétriques
Représentons par le symbole h une permutation quelconque des N premiers entiers
et notons P h l’opérateur de permutation correspondant. L’action de P h sur un vecteur
ket quelconque de l’espace des états s’obtient simplement en développant ce ket sur
la base (12.1.6). Quelle que soit la permutation P h , un ket |c S tel que :
P h |c S = |c S
(12.1.9)
est appelé un ket complètement symétrique. De même, pour toute permutation P h ,
un ket |c A tel que :
P h |c A = ´ h |c A
(12.1.10)
avec : ´ h = 1 si P h correspond à une permutation paire,
´ h = −1 si P h correspond à une permutation impaire
est appelé un ket complètement antisymétrique. L’ensemble des kets |c S forme un
sous-espace vectoriel H S de l’espace des états H et l’ensemble des kets |c A , un
sous-espace H A .
12.1.4 Propriétés des opérateurs de permutation
L’ensemble des N ! opérateurs de permutation relatifs aux permutations de N particules constitue un groupe ainsi qu’il est facile de le vérifier. Notons que les opérateurs
de permutation ne commutent pas entre eux.
a) Opérateur unitaire P 21
Montrons que les opérateurs de permutation sont unitaires. Pour cela, considérons un
système formé de deux particules et notons P 21 l’opérateur de permutation correspondant à la permutation de la particule 1 avec la particule 2. La définition (12.1.8)
montre qu’on a :
(P 21 )
2 = 1 1
(12.1.11)
D’autre part, calculant les éléments de matrice de P 21 et P
†
21 , on trouve que ces éléments sont égaux entre eux, d’où :
P
†
21 = P 21
(12.1.12)
En multipliant à gauche ou à droite chaque terme de (12.1.12) par P 21 , et en tenant
compte de (12.1.11), on obtient :
P
†
21 P 21 = P 21 P
†
21 = 1 1
(12.1.13)
ce qui montre que P 21 est un opérateur unitaire.