276
12 • Identité des particules
De manière générale, tous les systèmes de particules indiscernables ont une fonction d’onde qui doit être soit complètement symétrique, soit complètement antisymétrique. Les fonctions d’onde de tous les états d’un système donné doivent évidemment posséder la même symétrie, sinon une combinaison linéaire de différents types
de fonctions n’aurait aucune symétrie et ne saurait représenter un état du système.
12.1.3 Vecteurs d’état complètement symétriques ou antisymétriques
À toute fonction d’onde décrivant un système formé de particules identiques, on
associe un vecteur d’état ayant la même symétrie que la fonction d’onde. Un ket
complètement symétrique est tel qu’il reste égal à lui-même après une permutation
quelconque des particules du système. Un ket complètement antisymétrique reste
inchangé lors d’un nombre pair de permutations par rapport à l’état initial et change
de signe lors d’un nombre impair de permutations.
a) Opérateur de permutation
On peut formaliser la définition de la symétrie d’un vecteur d’état en introduisant les
opérateurs de permutation agissant sur les vecteurs d’état.
Considérons un système formé de N particules identiques et notons H (i) l’espace
des états physiques de la i
ème particule ; la notation (i) désigne le numéro de la particule. Tous les états de chaque espace H (i) sont évidemment les mêmes quelle que
soit la particule i. L’espace des états du système de N particules est le produit tensoriel :
H = H (1) ⊗ H (2) ⊗ · · · ⊗ H (N)
(12.1.5)
Si l’on choisit des vecteurs de base, notés |u j (i) de l’espace H (i), alors les vecteurs
de base de l’espace H sont donnés par les produits tensoriels :
|u j (1) ⊗ |u k (2) ⊗ · · · ⊗ |u l (N) = |u j (1), u k (2), ..., u l (N)
(12.1.6)
Considérons une permutation quelconque entre les particules du système physique et
associons à cette permutation un opérateur de permutation agissant sur les vecteurs
d’états. À titre d’exemple, permutons la particule 1 avec la particule 2. Les vecteurs
de base (12.1.6) se transforment en vecteurs :
|u j (2) ⊗ |u k (1) ⊗ · · · ⊗ |u l (N) = |u j (2), u k (1), ..., u l (N)
(12.1.7)
Associons à cette permutation l’opérateur P 21 agissant sur les vecteurs d’état de l’espace H et défini par :
P 21 |u j (1), u k (2), ..., u l (N) = |u j (2), u k (1), ..., u l (N)
(12.1.8)
12 • Identité des particules
De manière générale, tous les systèmes de particules indiscernables ont une fonction d’onde qui doit être soit complètement symétrique, soit complètement antisymétrique. Les fonctions d’onde de tous les états d’un système donné doivent évidemment posséder la même symétrie, sinon une combinaison linéaire de différents types
de fonctions n’aurait aucune symétrie et ne saurait représenter un état du système.
12.1.3 Vecteurs d’état complètement symétriques ou antisymétriques
À toute fonction d’onde décrivant un système formé de particules identiques, on
associe un vecteur d’état ayant la même symétrie que la fonction d’onde. Un ket
complètement symétrique est tel qu’il reste égal à lui-même après une permutation
quelconque des particules du système. Un ket complètement antisymétrique reste
inchangé lors d’un nombre pair de permutations par rapport à l’état initial et change
de signe lors d’un nombre impair de permutations.
a) Opérateur de permutation
On peut formaliser la définition de la symétrie d’un vecteur d’état en introduisant les
opérateurs de permutation agissant sur les vecteurs d’état.
Considérons un système formé de N particules identiques et notons H (i) l’espace
des états physiques de la i
ème particule ; la notation (i) désigne le numéro de la particule. Tous les états de chaque espace H (i) sont évidemment les mêmes quelle que
soit la particule i. L’espace des états du système de N particules est le produit tensoriel :
H = H (1) ⊗ H (2) ⊗ · · · ⊗ H (N)
(12.1.5)
Si l’on choisit des vecteurs de base, notés |u j (i) de l’espace H (i), alors les vecteurs
de base de l’espace H sont donnés par les produits tensoriels :
|u j (1) ⊗ |u k (2) ⊗ · · · ⊗ |u l (N) = |u j (1), u k (2), ..., u l (N)
(12.1.6)
Considérons une permutation quelconque entre les particules du système physique et
associons à cette permutation un opérateur de permutation agissant sur les vecteurs
d’états. À titre d’exemple, permutons la particule 1 avec la particule 2. Les vecteurs
de base (12.1.6) se transforment en vecteurs :
|u j (2) ⊗ |u k (1) ⊗ · · · ⊗ |u l (N) = |u j (2), u k (1), ..., u l (N)
(12.1.7)
Associons à cette permutation l’opérateur P 21 agissant sur les vecteurs d’état de l’espace H et défini par :
P 21 |u j (1), u k (2), ..., u l (N) = |u j (2), u k (1), ..., u l (N)
(12.1.8)