12.1 Particules indiscernables
275
12.1.2 Fonctions d’onde symétrique et antisymétrique
a) Système de deux particules indiscernables
Considérons un système formé de deux particules identiques et notons 1 = (x 1 , y 1 , z 1 )
les coordonnées d’une des particules et 2 = (x 2 , y 2 , z 2 ) les coordonnées de l’autre.
Les états du système sont décrits par les fonctions d’onde c(1, 2).
Les particules étant indiscernables, l’hamiltonien du système et les états de celuici doivent rester strictement équivalents du point de vue physique lorsqu’on permute
les deux particules entre elles. Après permutation, la fonction d’onde du système
s’écrit : c(2, 1) et elle doit être identique, à un facteur de phase près indépendant des
coordonnées des deux particules, à c(1, 2), d’où :
c(2, 1) = e
ia c(1, 2)
(12.1.1)
Une nouvelle permutation des coordonnées des particules fait retrouver l’état initial,
d’où :
c(1, 2) = e
ia c(2, 1) = e
2ia c(1, 2)
(12.1.2)
On doit donc avoir : e
2ia = 1, soit e
ia = ±1, et par conséquent :
c(1, 2) = ±c(2, 1)
(12.1.3)
Les fonctions d’onde peuvent donc être de deux sortes : soit la fonction reste identique à elle-même lors d’une permutation des particules et on dit que cette fonction
est symétrique, soit elle change de signe et la fonction est dite antisymétrique.
b) Système de N particules indiscernables
La propriété de symétrie ou d’antisymétrie des fonctions d’onde se généralise à tous
les systèmes formés d’un nombre arbitraire de particules identiques.
Considérons, par exemple, un système de trois particules dont la fonction d’onde
est notée c(1, 2, 3). Il existe à présent six permutations possibles conduisant aux
fonctions d’onde c(1, 2, 3), c(1, 3, 2), c(3, 1, 2), c(3, 2, 1), c(2, 3, 1),
c(2, 1, 3).
Si toutes ces permutations donnent des fonctions égales entre elles, alors la fonction c est dite complètement symétrique.
Par contre, si la fonction change de signe lorsqu’on effectue un nombre impair de
permutations et reste égale à elle-même si l’on effectue un nombre pair de permutations, la fonction d’onde est dite complètement antisymétrique. C’est le cas lorsque,
dans l’exemple précédent, on a :
c(1, 2, 3) = c(3, 1, 2) = c(2, 3, 1)
c(1, 2, 3) = −c(3, 2, 1) = −c(1, 3, 2) = −c(2, 1, 3)
(12.1.4)
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12.1.2 Fonctions d’onde symétrique et antisymétrique
a) Système de deux particules indiscernables
Considérons un système formé de deux particules identiques et notons 1 = (x 1 , y 1 , z 1 )
les coordonnées d’une des particules et 2 = (x 2 , y 2 , z 2 ) les coordonnées de l’autre.
Les états du système sont décrits par les fonctions d’onde c(1, 2).
Les particules étant indiscernables, l’hamiltonien du système et les états de celuici doivent rester strictement équivalents du point de vue physique lorsqu’on permute
les deux particules entre elles. Après permutation, la fonction d’onde du système
s’écrit : c(2, 1) et elle doit être identique, à un facteur de phase près indépendant des
coordonnées des deux particules, à c(1, 2), d’où :
c(2, 1) = e
ia c(1, 2)
(12.1.1)
Une nouvelle permutation des coordonnées des particules fait retrouver l’état initial,
d’où :
c(1, 2) = e
ia c(2, 1) = e
2ia c(1, 2)
(12.1.2)
On doit donc avoir : e
2ia = 1, soit e
ia = ±1, et par conséquent :
c(1, 2) = ±c(2, 1)
(12.1.3)
Les fonctions d’onde peuvent donc être de deux sortes : soit la fonction reste identique à elle-même lors d’une permutation des particules et on dit que cette fonction
est symétrique, soit elle change de signe et la fonction est dite antisymétrique.
b) Système de N particules indiscernables
La propriété de symétrie ou d’antisymétrie des fonctions d’onde se généralise à tous
les systèmes formés d’un nombre arbitraire de particules identiques.
Considérons, par exemple, un système de trois particules dont la fonction d’onde
est notée c(1, 2, 3). Il existe à présent six permutations possibles conduisant aux
fonctions d’onde c(1, 2, 3), c(1, 3, 2), c(3, 1, 2), c(3, 2, 1), c(2, 3, 1),
c(2, 1, 3).
Si toutes ces permutations donnent des fonctions égales entre elles, alors la fonction c est dite complètement symétrique.
Par contre, si la fonction change de signe lorsqu’on effectue un nombre impair de
permutations et reste égale à elle-même si l’on effectue un nombre pair de permutations, la fonction d’onde est dite complètement antisymétrique. C’est le cas lorsque,
dans l’exemple précédent, on a :
c(1, 2, 3) = c(3, 1, 2) = c(2, 3, 1)
c(1, 2, 3) = −c(3, 2, 1) = −c(1, 3, 2) = −c(2, 1, 3)
(12.1.4)