1.4 Effet tunnel
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fonction d’onde étant un nombre complexe peut s’écrire sous la forme :
c A (r, t) =
r A (r, t) exp (iw A (r, t))
(1.4.1)
De même, pour les électrons du métal B, la fonction d’onde est :
c B (r, t) =
r B (r, t) exp (iw B (r, t))
(1.4.2)
Soient E A et E B les énergies respectives des électrons dans les supraconducteurs A et
B. Les fonctions d’onde sont liées entre elles par les relations :
i
∂
∂t
c A
c B
=
E A D
D E B
c A
c B
(1.4.3)
où les couplages correspondant à l’effet tunnel entre les deux métaux sont représentés
par les éléments non-diagonaux D, constants et réels. On a donc un système de deux
équations couplées :
i
∂
∂t
c A = E A c A + Dc B ; i
∂
∂t
c B = E B c B + Dc A
(1.4.4)
En utilisant l’approximation : r A r B r, nous allons voir que le supracourant
Josephson entre A et B, défini comme une fonction proportionnelle à ∂r/∂t, est
égal à :
j = j 0 sin(w B − w A )
( 1 .4.5)
La dérivée par rapport au temps de la fonction d’onde c A donne :
∂
∂t
c A =
∂
∂t
√ r A exp(iw A )
=
1
2
√ r A
∂r A
∂t
e
iwA + i
√
r A e
iwA ∂w A
∂t
(1.4.6)
Posons v A = E A / et C = D/ ; la première des équations (1.4.4) s’écrit, compte
tenu de (1.4.6) :
1
2
√ r A
∂r A
∂t
e
iwA + i
√ r A e
iwA ∂w A
∂t
= −iv A
√ r A e
iwA
− iC
√
r B e
iwB
(1.4.7)
Multiplions par
√ r A e
−iwA tous les termes de l’équation (1.4.7) ; il vient :
1
2
∂r A
∂t
+ ir A
∂w A
∂t
= −iv A r A − iC
√
r A r B e
i(wB−wA)
(1.4.8)
L’approximation r A r B r donne, en égalant les termes réels de l’équation (1.4.8) :
∂r
∂t
= 2Cr sin(w B − w A )
( 1 .4.9)
Avec 2Cr = j 0 , on obtient l’expression (1.4.5) du supracourant Josephson entre A
et B.