Exercices
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Les fonctions c nljmJ (r, u, w) sont donc des fonctions propres de W SO et, par suite, le calcul
de perturbation au premier ordre se ramène au calcul des éléments matriciels diagonaux de
W SO déterminés sur les états propres de H. Les énergies de perturbation sont données par :
E
(1)
SO = c nljmJ (r, u, w)|W SO |c nljmJ (r, u, w)
(5)
Les intégrales à calculer sont donc de la forme suivante, avec l’élément de volume donné par
dV = r
2 sin ududwdr :
e
2
4m 2
e c 2
R
2
nl (r)
r
dr
Z
∗
ljmJ (J
2
− L
2
− S
2 ) Z ljmJ sin u du dw
(6)
Puisque les fonctions Z ljmJ sont des fonctions propres de J
2 , L
2 et S
2 , l’intégrale double en u
et w vaut :
2 [ j( j + 1) − l(l + 1) − s(s + 1)] =
2 [ j( j + 1) − l(l + 1) − 3/4]
(7)
L’intégrale dépendant de r est la valeur moyenne de r
−3 ; cette valeur est donnée par (7.3.47),
pour l = 0, à savoir :
R
−3
=
1
a
3
0 n 3 l(l + 1)(l +
1
2 )
(8)
Posons |E n | = m e e
4 /2
2 n
2 ; ce sont les valeurs absolues des niveaux d’énergie de l’hydrogène. Les énergies de perturbation données par (5) s’écrivent, compte tenu de l’expression
(4) de W SO et des résultats (7) et (8), pour l = 0 :
pour j = l +
1
2
: E
(1)+
SO =
|E n | a
2
2n
1
(l + 1)(l +
1
2 )
(9)
pour j = l −
1
2
: E
(1)−
SO = −
|E n | a
2
2n
1
l (l +
1
2 )
(10)
Pour l = 0, on a j = 1/2 et l’expression (7) est égale à zéro ; l’énergie de perturbation est
alors nulle.
Exercice 11.4. Correction relativiste de l’énergie cinétique
1. Calculer la correction d’énergie de l’atome d’hydrogène due à la perturbation relativiste : W V = −P
4 /8m
3
e c
2 , en utilisant les valeurs des intégrales
(7.3.47).
2. Compte tenu de l’exercice 11.3, déterminer les variations des niveaux
d’énergie E n de l’atome d’hydrogène dues à W V + W SO .
Solution.
1. L’énergie cinétique T = p
2 /2m e permet d’écrire la perturbation W V sous la forme :
W V = −T
2 /2m e c
2 . Soit E l’énergie de l’hamiltonien H non perturbé ; on a : E = T + V,
d’où :
W V = −
(E − V)
2
2m e c 2 = −
E
2
− 2EV + V
2
2m e c 2
(1)