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11 • Structure fine de l’atome d’hydrogène
Le calcul de la perturbation avec les fonctions d’onde c nljmJ (r, u, w) obtenues dans l’exercice
11.3 conduit à un calcul de perturbation d’états non dégénérés et la correction relativiste est
donnée par les éléments matriciels diagonaux de W V . L’énergie potentielle est donnée par
V = −e
2 /r, d’où l’énergie de perturbation :
E
(1)
V = −
1
2m e c 2
c
∗
nljmJ (E
2 + 2E
e
2
r
+
e
4
r 2 ) c nljmJ r
2 sin u du dw dr
(2)
Le calcul de ces intégrales fait intervenir les valeurs moyennes de 1/r et 1/r
2 données par
(7.3.47), à savoir :
R
−1
=
1
a 0 n 2 ; R
−2
=
1
a 2
0 n 3 (l +
1
2 )
(3)
L’énergie de perturbation due à W V est alors :
E
(1)
V = −
|E n |a
2
n
2
2l + 1
−
3
4n
(4)
2. L’énergie totale de perturbation due à W SO + W V s’obtient en additionnant les expressions
(9) ou (10) de l’exercice 11.3 avec E
(1)
V . Si l’on remplace l par sa valeur en fonction de j, soit
l = j + 1/2 ou l = j − 1/2, on obtient l’expression unique :
E
(1)
n, j = −
|E n |a
2
n
1
j +
1
2
−
3
4n
(5)
où j prend les valeurs j = l ± 1/2. Le coefficient |E n |a
2 /n s’écrit encore m e c
2 a
4 /2n
3 en
tenant compte de l’expression de |E n | = m e c
2 a
2 /2n
2 . On obtient l’expression (11.3.7).
Exercice 11.5. Effet Stark
1. Faire un tableau des variations, par effet Stark, de l’énergie des niveaux
n = 1, 2, 3 de l’atome d’hydrogène.
2. Déterminer la décomposition de la raie H a du spectre de l’hydrogène
par effet Stark, sachant que la règle de sélection est D|m| = 0, ±1.
Pour D|m| = 0, on observe un rayonnement polarisé rectilignement lors
de l’observation transversale (raies de type p) et absent dans l’observation
longitudinale.
Pour D|m| = ±1, on obtient un rayonnement polarisé perpendiculairement
au champ électrique (raies de type s) pour l’observation transverse.
Solution.
1. Les énergies de perturbation sont données par (11.5.4). Posons C = 3e 0 a 0 E /2. Les
nombres n 1 et n 2 sont liés à n par : n = n 1 + n 2 + |m| + 1 où |m| prend les valeurs de 0 à n − 1.
On obtient ainsi le tableau suivant donnant les variations d’énergie E
(1)
n . La dernière colonne
indique la dégénérescence du niveau E n (sans tenir compte du spin).
11 • Structure fine de l’atome d’hydrogène
Le calcul de la perturbation avec les fonctions d’onde c nljmJ (r, u, w) obtenues dans l’exercice
11.3 conduit à un calcul de perturbation d’états non dégénérés et la correction relativiste est
donnée par les éléments matriciels diagonaux de W V . L’énergie potentielle est donnée par
V = −e
2 /r, d’où l’énergie de perturbation :
E
(1)
V = −
1
2m e c 2
c
∗
nljmJ (E
2 + 2E
e
2
r
+
e
4
r 2 ) c nljmJ r
2 sin u du dw dr
(2)
Le calcul de ces intégrales fait intervenir les valeurs moyennes de 1/r et 1/r
2 données par
(7.3.47), à savoir :
R
−1
=
1
a 0 n 2 ; R
−2
=
1
a 2
0 n 3 (l +
1
2 )
(3)
L’énergie de perturbation due à W V est alors :
E
(1)
V = −
|E n |a
2
n
2
2l + 1
−
3
4n
(4)
2. L’énergie totale de perturbation due à W SO + W V s’obtient en additionnant les expressions
(9) ou (10) de l’exercice 11.3 avec E
(1)
V . Si l’on remplace l par sa valeur en fonction de j, soit
l = j + 1/2 ou l = j − 1/2, on obtient l’expression unique :
E
(1)
n, j = −
|E n |a
2
n
1
j +
1
2
−
3
4n
(5)
où j prend les valeurs j = l ± 1/2. Le coefficient |E n |a
2 /n s’écrit encore m e c
2 a
4 /2n
3 en
tenant compte de l’expression de |E n | = m e c
2 a
2 /2n
2 . On obtient l’expression (11.3.7).
Exercice 11.5. Effet Stark
1. Faire un tableau des variations, par effet Stark, de l’énergie des niveaux
n = 1, 2, 3 de l’atome d’hydrogène.
2. Déterminer la décomposition de la raie H a du spectre de l’hydrogène
par effet Stark, sachant que la règle de sélection est D|m| = 0, ±1.
Pour D|m| = 0, on observe un rayonnement polarisé rectilignement lors
de l’observation transversale (raies de type p) et absent dans l’observation
longitudinale.
Pour D|m| = ±1, on obtient un rayonnement polarisé perpendiculairement
au champ électrique (raies de type s) pour l’observation transverse.
Solution.
1. Les énergies de perturbation sont données par (11.5.4). Posons C = 3e 0 a 0 E /2. Les
nombres n 1 et n 2 sont liés à n par : n = n 1 + n 2 + |m| + 1 où |m| prend les valeurs de 0 à n − 1.
On obtient ainsi le tableau suivant donnant les variations d’énergie E
(1)
n . La dernière colonne
indique la dégénérescence du niveau E n (sans tenir compte du spin).