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11 • Structure fine de l’atome d’hydrogène
On a : H 0 m e c
2 a
2 , d’où :
W D
H 0
3
8
a
2 = 2 × 10
−5
(8)
Les énergies dues à l’hamiltonien non relativiste H 0 de l’atome d’hydrogène étant de l’ordre
de 10 eV, on voit que tous les termes de structure fine sont environ 10
4 fois plus petits que
ces énergies.
Exercice 11.3. Interaction spin-orbite de l’atome d’hydrogène
On calcule la perturbation engendrée par l’interaction spin-orbite de
l’atome d’hydrogène pour un état n, l donné.
1. Écrire les expressions des fonctions d’onde c nljmj qui sont des fonctions
propres des opérateurs J
2 , L
2 , S
2 avec J = L + S, en utilisant les résultats
de l’exercice 6.7.
2. Calculer l’énergie de perturbation du premier ordre due à l’interaction
spin-orbite, en utilisant les valeurs des intégrales (7.3.46).
Solution.
1. La composition de deux moments cinétiques, pour j 1 quelconque et j 2 = 1/2, a été étudiée
au cours de l’exercice 6.7. Dans le cas de l’interaction spin-orbite, on doit composer d’une
part le moment orbital cinétique, caractérisé par j 1 = l, et le spin avec j 2 = 1/2. Les fonctions
d’onde cherchées sont données par les expressions (6) et (8) de l’exercice 6.7. Notons a(1/2)
et b(−1/2) les spineurs de base correspondant respectivement aux valeurs propres /2 et
− /2. On a, pour j = l + 1/2 :
Z l, j, mJ (u, w) =
1
√
2l + 1
l + m J +
1
2
Y l,mJ −
1
2
a(
1
2
) +
l − m J +
1
2
Y l,mJ +
1
2
b(−
1
2
)
(1)
Pour j = l − 1/2 :
Z l, j, mJ (u, w) =
1
√
2l + 1
−
l − m J +
1
2
Y l,mJ −
1
2
a(
1
2
) +
l + m J +
1
2
Y l,mJ +
1
2
b(−
1
2
)
(2)
Les fonctions Y lm (u, w) sont considérées avec leur coefficient de normalisation. Les fonctions
Z l, j, mJ (u, w) sont des fonctions propres de J
2 , L
2 et S
2 . D’autre part, les fonctions R n,l (r) de
l’atome d’hydrogène ne dépendent que de r et les opérateurs J
2 , L
2 et S
2 n’opèrent que sur
les variables u, w ou s. En conséquence, les fonctions :
c nljmJ (r, u, w) = R nl (r) Z ljmJ (u, w)
( 3 )
sont aussi des fonctions propres de J
2 , L
2 et S
2 , ainsi que de l’hamiltonien H de l’hydrogène.
2. L’opérateur de perturbation W SO est donné par (11.1.28), soit :
W SO =
e
2
2m 2
e c 2
1
R 3 L·S =
e
2
2m 2
e c 2
1
R 3
1
2
(J
2
− L
2
− S
2 )
( 4 )
11 • Structure fine de l’atome d’hydrogène
On a : H 0 m e c
2 a
2 , d’où :
W D
H 0
3
8
a
2 = 2 × 10
−5
(8)
Les énergies dues à l’hamiltonien non relativiste H 0 de l’atome d’hydrogène étant de l’ordre
de 10 eV, on voit que tous les termes de structure fine sont environ 10
4 fois plus petits que
ces énergies.
Exercice 11.3. Interaction spin-orbite de l’atome d’hydrogène
On calcule la perturbation engendrée par l’interaction spin-orbite de
l’atome d’hydrogène pour un état n, l donné.
1. Écrire les expressions des fonctions d’onde c nljmj qui sont des fonctions
propres des opérateurs J
2 , L
2 , S
2 avec J = L + S, en utilisant les résultats
de l’exercice 6.7.
2. Calculer l’énergie de perturbation du premier ordre due à l’interaction
spin-orbite, en utilisant les valeurs des intégrales (7.3.46).
Solution.
1. La composition de deux moments cinétiques, pour j 1 quelconque et j 2 = 1/2, a été étudiée
au cours de l’exercice 6.7. Dans le cas de l’interaction spin-orbite, on doit composer d’une
part le moment orbital cinétique, caractérisé par j 1 = l, et le spin avec j 2 = 1/2. Les fonctions
d’onde cherchées sont données par les expressions (6) et (8) de l’exercice 6.7. Notons a(1/2)
et b(−1/2) les spineurs de base correspondant respectivement aux valeurs propres /2 et
− /2. On a, pour j = l + 1/2 :
Z l, j, mJ (u, w) =
1
√
2l + 1
l + m J +
1
2
Y l,mJ −
1
2
a(
1
2
) +
l − m J +
1
2
Y l,mJ +
1
2
b(−
1
2
)
(1)
Pour j = l − 1/2 :
Z l, j, mJ (u, w) =
1
√
2l + 1
−
l − m J +
1
2
Y l,mJ −
1
2
a(
1
2
) +
l + m J +
1
2
Y l,mJ +
1
2
b(−
1
2
)
(2)
Les fonctions Y lm (u, w) sont considérées avec leur coefficient de normalisation. Les fonctions
Z l, j, mJ (u, w) sont des fonctions propres de J
2 , L
2 et S
2 . D’autre part, les fonctions R n,l (r) de
l’atome d’hydrogène ne dépendent que de r et les opérateurs J
2 , L
2 et S
2 n’opèrent que sur
les variables u, w ou s. En conséquence, les fonctions :
c nljmJ (r, u, w) = R nl (r) Z ljmJ (u, w)
( 3 )
sont aussi des fonctions propres de J
2 , L
2 et S
2 , ainsi que de l’hamiltonien H de l’hydrogène.
2. L’opérateur de perturbation W SO est donné par (11.1.28), soit :
W SO =
e
2
2m 2
e c 2
1
R 3 L·S =
e
2
2m 2
e c 2
1
R 3
1
2
(J
2
− L
2
− S
2 )
( 4 )