Exercices
269
Exercice 11.2. Ordre de grandeur des termes de structure fine de l’atome
d’hydrogène
On se propose d’évaluer l’ordre de grandeur des termes de structure fine
de l’atome d’hydrogène par rapport aux énergies cinétique et potentielle de
l’électron.
1. Faire une estimation du rapport W V /T, où W V est la correction relativiste
de l’énergie cinétique donnée par (11.1.22) et T = p
2 /2m e .
2. Estimer le rapport W SO /U, où W SO est donné par (11.1.28) et U = e
2 /R.
On choisira une valeur de R convenable.
3. Calculer le rapport entre le terme de Darwin W D donné par (11.1.31) et
< H 0 > m e c
2 a
2 , où H 0 est l’hamiltonien de l’hydrogène.
Solution.
1.
W V
T
=
p
4
8m 3
e c 2
2m e
p 2 =
p
2
4m 2
e c 2 =
1
4
v
c
2
(1)
Pour l’atome d’hydrogène, on a
: v/c = a, avec a = 1/137. La relation (1) s’écrit :
W V
T
1
4
1
137
2
= 1, 3 × 10
−5
(2)
2. Le terme de couplage spin-orbite W SO , donné par (11.1.28), fait intervenir le produit L·S.
La valeur propre de L z est égale à m et celle de S z à ± /2 ; la grandeur de L·S est donc de
l’ordre de
2 et on peut écrire :
W SO
e
2
2m 2
e c 2
1
R 3
2
(3)
Choisissons R égal au rayon de Bohr, a 0 =
2 /m e e
2 , d’où :
W SO
U
=
e
4
2 2 c 2 =
a
2
2
= 2, 6 × 10
−5
(4)
3. La valeur moyenne du terme de Darwin, donnée par (11.1.31), est proportionnelle à
|c(0)|
2 . L’ordre de grandeur de |c(0)|
2 s’obtient en écrivant :
|c(r)|
2 d
3 r = 1 |c(0)|
2 V 0
(5)
où V 0 est le volume d’intégration physiquement pertinent et où l’on peut considérer que
c(r) c(0). Pour un volume d’intégration formé par une sphère de rayon a 0 =
2 /m e e
2 , on
a : V 0 = 4pa
3
0 /3 et la relation (5) donne :
|c(0)|
2 =
3m
3
e e
6
4p 6
(6)
La valeur moyenne du terme de Darwin devient, compte tenu de (6) :
W D =
pe
2
2
2m 2
e c 2 |c(0)|
2 =
3m e e
8
8 4 c 2 =
3
8
m e c
2 a
4
(7)
4. J. HLADIK et M. CHRYSOS. Introduction à la mécanique quantique. Dunod (2000).
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Exercice 11.2. Ordre de grandeur des termes de structure fine de l’atome
d’hydrogène
On se propose d’évaluer l’ordre de grandeur des termes de structure fine
de l’atome d’hydrogène par rapport aux énergies cinétique et potentielle de
l’électron.
1. Faire une estimation du rapport W V /T, où W V est la correction relativiste
de l’énergie cinétique donnée par (11.1.22) et T = p
2 /2m e .
2. Estimer le rapport W SO /U, où W SO est donné par (11.1.28) et U = e
2 /R.
On choisira une valeur de R convenable.
3. Calculer le rapport entre le terme de Darwin W D donné par (11.1.31) et
< H 0 > m e c
2 a
2 , où H 0 est l’hamiltonien de l’hydrogène.
Solution.
1.
W V
T
=
p
4
8m 3
e c 2
2m e
p 2 =
p
2
4m 2
e c 2 =
1
4
v
c
2
(1)
Pour l’atome d’hydrogène, on a
: v/c = a, avec a = 1/137. La relation (1) s’écrit :
W V
T
1
4
1
137
2
= 1, 3 × 10
−5
(2)
2. Le terme de couplage spin-orbite W SO , donné par (11.1.28), fait intervenir le produit L·S.
La valeur propre de L z est égale à m et celle de S z à ± /2 ; la grandeur de L·S est donc de
l’ordre de
2 et on peut écrire :
W SO
e
2
2m 2
e c 2
1
R 3
2
(3)
Choisissons R égal au rayon de Bohr, a 0 =
2 /m e e
2 , d’où :
W SO
U
=
e
4
2 2 c 2 =
a
2
2
= 2, 6 × 10
−5
(4)
3. La valeur moyenne du terme de Darwin, donnée par (11.1.31), est proportionnelle à
|c(0)|
2 . L’ordre de grandeur de |c(0)|
2 s’obtient en écrivant :
|c(r)|
2 d
3 r = 1 |c(0)|
2 V 0
(5)
où V 0 est le volume d’intégration physiquement pertinent et où l’on peut considérer que
c(r) c(0). Pour un volume d’intégration formé par une sphère de rayon a 0 =
2 /m e e
2 , on
a : V 0 = 4pa
3
0 /3 et la relation (5) donne :
|c(0)|
2 =
3m
3
e e
6
4p 6
(6)
La valeur moyenne du terme de Darwin devient, compte tenu de (6) :
W D =
pe
2
2
2m 2
e c 2 |c(0)|
2 =
3m e e
8
8 4 c 2 =
3
8
m e c
2 a
4
(7)
4. J. HLADIK et M. CHRYSOS. Introduction à la mécanique quantique. Dunod (2000).