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11 • Structure fine de l’atome d’hydrogène
Pour n et |m| fixés, les nombres n 1 et n 2 prennent des valeurs de 0 à n − |m| − 1.
Les composantes extrêmes d’un niveau désintégré correspondent donc, pour m = 0,
d’une part à n 1 = 0 et n 2 = n − 1, d’autre part à n 2 = 0 et n 1 = n − 1. La différence
d’énergie entre ces niveaux extrêmes est donc :
DE
(1)
n = 3e 0 a 0 E n(n − 1)
(11.5.5)
Lorsque le nombre quantique principal augmente, il en est de même du moment dipolaire de l’atome et l’écart entre les niveaux extrêmes s’agrandit ainsi que le montre
la relation (11.5.5).
Notons que le niveau fondamental 1s ne comporte pas d’effet Stark linéaire en
E puisqu’il lui correspond les nombres quantiques n 1 = n 2 = 0. Il faut passer à
l’approximation du deuxième ordre pour obtenir un déplacement du niveau 1s qui
est quadratique en E .
La levée de la dégénérescence par le champ
− →
E n’est pas totale. Un niveau E
(0)
n est
en effet dégénéré n
2 fois alors qu’on obtient (2n − 1) sous-niveaux Stark d’énergie
E n n1n2 . La levée de la dégénérescence se poursuit sous l’effet de la perturbation du
deuxième ordre.
EXERCICES
Exercice 11.1. Propriétés des matrices de Dirac
1. Écrire les matrices a j de Dirac qui figurent dans l’équation (11.1.12) en
fonction des matrices s k de Pauli.
2. Montrer que les matrices a j vérifient les relations :
a i a j + a j a i = 2d ij
(1)
Solution.
1. Le vecteur s ayant pour composantes les matrices s j de Pauli, le vecteur a qui figure dans
l’équation de Dirac (11.1.12) a pour composantes :
a 1 =
0 s x
s x 0
; a 2 =
0 s y
s y 0
; a 3 =
0 s z
s z 0
(2)
D’autre part : a 4 =
1 1
0
0 −11
, où 1 1 est la matrice unité d’ordre deux.
2. Les matrices de Pauli vérifient la relation : s i s j + s j s i = 2d ij 1 1. Le produit des matrices
de Dirac nous donne :
a i a j =
0 s i
s i 0
0 s j
s j 0
=
s i s j
0
0
s i s j
(3)
d’où :
a i a j + a j a i =
s i s j + s j s i
0
0
s i s j + s j s i
= 2d ij
1 1 0
0 1 1
(4)
C’est la relation (1) demandée où la matrice identité d’ordre quatre est implicite.
11 • Structure fine de l’atome d’hydrogène
Pour n et |m| fixés, les nombres n 1 et n 2 prennent des valeurs de 0 à n − |m| − 1.
Les composantes extrêmes d’un niveau désintégré correspondent donc, pour m = 0,
d’une part à n 1 = 0 et n 2 = n − 1, d’autre part à n 2 = 0 et n 1 = n − 1. La différence
d’énergie entre ces niveaux extrêmes est donc :
DE
(1)
n = 3e 0 a 0 E n(n − 1)
(11.5.5)
Lorsque le nombre quantique principal augmente, il en est de même du moment dipolaire de l’atome et l’écart entre les niveaux extrêmes s’agrandit ainsi que le montre
la relation (11.5.5).
Notons que le niveau fondamental 1s ne comporte pas d’effet Stark linéaire en
E puisqu’il lui correspond les nombres quantiques n 1 = n 2 = 0. Il faut passer à
l’approximation du deuxième ordre pour obtenir un déplacement du niveau 1s qui
est quadratique en E .
La levée de la dégénérescence par le champ
− →
E n’est pas totale. Un niveau E
(0)
n est
en effet dégénéré n
2 fois alors qu’on obtient (2n − 1) sous-niveaux Stark d’énergie
E n n1n2 . La levée de la dégénérescence se poursuit sous l’effet de la perturbation du
deuxième ordre.
EXERCICES
Exercice 11.1. Propriétés des matrices de Dirac
1. Écrire les matrices a j de Dirac qui figurent dans l’équation (11.1.12) en
fonction des matrices s k de Pauli.
2. Montrer que les matrices a j vérifient les relations :
a i a j + a j a i = 2d ij
(1)
Solution.
1. Le vecteur s ayant pour composantes les matrices s j de Pauli, le vecteur a qui figure dans
l’équation de Dirac (11.1.12) a pour composantes :
a 1 =
0 s x
s x 0
; a 2 =
0 s y
s y 0
; a 3 =
0 s z
s z 0
(2)
D’autre part : a 4 =
1 1
0
0 −11
, où 1 1 est la matrice unité d’ordre deux.
2. Les matrices de Pauli vérifient la relation : s i s j + s j s i = 2d ij 1 1. Le produit des matrices
de Dirac nous donne :
a i a j =
0 s i
s i 0
0 s j
s j 0
=
s i s j
0
0
s i s j
(3)
d’où :
a i a j + a j a i =
s i s j + s j s i
0
0
s i s j + s j s i
= 2d ij
1 1 0
0 1 1
(4)
C’est la relation (1) demandée où la matrice identité d’ordre quatre est implicite.