1.4 Particule dans un état stationnaire
15
Équation à une variable
Les trois équations (1.3.10) sont analogues et ont pour solution des sinus ou des
cosinus. Les conditions aux limites (1.3.7) imposent les solutions :
X n (x) = N sin
npx
a
(1.3.11)
où n est la suite des nombres entiers relatifs et N un coefficient de normalisation
qu’on détermine en écrivant :
a
0
|X n (x)|
2 dx = |N|
2 a
2
= 1
( 1 .3.12)
Puisque la fonction d’onde est définie à une constante de phase près, on peut choisir
la valeur positive de N, d’où :
X n (x) =
2
a
sin
npx
a
(1.3.13)
Les nombres n et −n correspondent à un même état quantique, selon la remarque
précédente. De plus, la valeur n = 0 est à exclure car elle conduit à la solution
triviale X 0 = 0. Reportant X n (x) dans l’équation différentielle, on obtient les valeurs
de l’énergie :
E x, n =
p
2
2
2ma 2 n
2
(1.3.14)
On obtient une suite discrète de valeurs de l’énergie, caractérisées chacune par un
nombre quantique n, avec n = 1, 2, 3, . . . À chaque valeur de E x, n correspond une
seule fonction propre.
Fonctions d’onde et niveaux d’énergie d’une molécule
Les fonctions d’onde de la forme (1.3.8) sont obtenues en multipliant entre elles les
solutions (1.3.13) avec celles analogues en y et z, soit :
c n1 n2 n3 (x, y, z) =
8
abc
1/2
sin
n 1 px
a
sin
n 2 py
b
sin
n 3 pz
c
(1.3.15)
avec n 1 , n 2 , n 3 = 1, 2, 3, . . . Ces trois nombres quantiques caractérisent un état
d’énergie cinétique de la molécule. Les niveaux d’énergie sont donnés par :
E n1 n2 n3 =
p
2
2
2m
n
2
1
a 2 +
n
2
2
b 2 +
n
2
3
c 2
(1.3.16)
Pour a, b, c tels que les rapports a : b : c soient des nombres irrationnels, à chaque
niveau d’énergie correspond une seule fonction d’onde. Par contre, si l’on considère,
par exemple, une enceinte cubique, telle que a = b = c, à certains niveaux correspondent alors plusieurs fonctions d’onde. Ainsi, les trois fonctions d’onde c 112 , c 121 ,
c 211 ont le même niveau d’énergie. On dit que le niveau d’énergie est dégénéré.
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Équation à une variable
Les trois équations (1.3.10) sont analogues et ont pour solution des sinus ou des
cosinus. Les conditions aux limites (1.3.7) imposent les solutions :
X n (x) = N sin
npx
a
(1.3.11)
où n est la suite des nombres entiers relatifs et N un coefficient de normalisation
qu’on détermine en écrivant :
a
0
|X n (x)|
2 dx = |N|
2 a
2
= 1
( 1 .3.12)
Puisque la fonction d’onde est définie à une constante de phase près, on peut choisir
la valeur positive de N, d’où :
X n (x) =
2
a
sin
npx
a
(1.3.13)
Les nombres n et −n correspondent à un même état quantique, selon la remarque
précédente. De plus, la valeur n = 0 est à exclure car elle conduit à la solution
triviale X 0 = 0. Reportant X n (x) dans l’équation différentielle, on obtient les valeurs
de l’énergie :
E x, n =
p
2
2
2ma 2 n
2
(1.3.14)
On obtient une suite discrète de valeurs de l’énergie, caractérisées chacune par un
nombre quantique n, avec n = 1, 2, 3, . . . À chaque valeur de E x, n correspond une
seule fonction propre.
Fonctions d’onde et niveaux d’énergie d’une molécule
Les fonctions d’onde de la forme (1.3.8) sont obtenues en multipliant entre elles les
solutions (1.3.13) avec celles analogues en y et z, soit :
c n1 n2 n3 (x, y, z) =
8
abc
1/2
sin
n 1 px
a
sin
n 2 py
b
sin
n 3 pz
c
(1.3.15)
avec n 1 , n 2 , n 3 = 1, 2, 3, . . . Ces trois nombres quantiques caractérisent un état
d’énergie cinétique de la molécule. Les niveaux d’énergie sont donnés par :
E n1 n2 n3 =
p
2
2
2m
n
2
1
a 2 +
n
2
2
b 2 +
n
2
3
c 2
(1.3.16)
Pour a, b, c tels que les rapports a : b : c soient des nombres irrationnels, à chaque
niveau d’énergie correspond une seule fonction d’onde. Par contre, si l’on considère,
par exemple, une enceinte cubique, telle que a = b = c, à certains niveaux correspondent alors plusieurs fonctions d’onde. Ainsi, les trois fonctions d’onde c 112 , c 121 ,
c 211 ont le même niveau d’énergie. On dit que le niveau d’énergie est dégénéré.