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11 • Structure fine de l’atome d’hydrogène
au niveau E
(0)
n est :
H n =
n−1
l=0
⊕
E
(l)
⊗ E
(1/2)
(11.3.2)
La décomposition de Clebsch-Gordan d’un produit direct de deux représentations
irréductibles de SO(3) nous donne :
E
(l)
⊗ E
(1/2) =
E
j=1/2
si l = 0
E
j=l+1/2
⊕ E
j=l−1/2 si l = 0
(11.3.3)
Compte tenu de (11.3.3), la décomposition de l’espace H n s’écrit :
H n = E
1/2
l=0 ⊕
n−1
l=1
⊕
E
l+1/2
(l)
⊕ E
l−1/2
(l)
(11.3.4)
Pour n = 1, la décomposition ci-dessus se réduit à :
H 1 = E
1/2
l=0
(11.3.5)
et correspond à un seul niveau 1s 1/2 qui est doublement dégénéré. Pour n = 2, on
obtient :
H 2 = E
1/2
l=0 ⊕ E
3/2
l=1 ⊕ E
1/2
l=1
(11.3.6)
On retrouve les trois niveaux d’énergie mis précédemment en évidence, à savoir :
2s 1/2 , 2p 3/2 et 2p 1/2 . Pour n = 3, la décomposition (11.3.4) fait apparaître la suite de
niveaux de structure fine : 3s 1/2 , 3p 1/2 , 3p 3/2 , 3d 3/2 , 3d 5/2 .
11.3.2 Correction relativiste des niveaux d’énergie
Le calcul des énergies de perturbation relativiste du premier ordre, E
(1)
nj , peut être
réalisé pour un niveau quelconque n comme nous venons de le voir pour n = 2. On
obtient la formule suivante (voir exercice 11.4) :
E
(1)
nj = −
m e a
4 c
2
2n 3
⎛
⎜
⎝
1
j +
1
2
−
3
4n
⎞
⎟
⎠
(11.3.7)
Cette formule donne la correction relativiste à apporter à l’énergie E
(0)
n de l’atome
d’hydrogène. La perturbation due au couplage spin-orbite lève partiellement la dégénérescence des niveaux non perturbés.
Nous avons vu que les niveaux 2s 1/2 et 2p 1/2 sont égaux. De manière générale,
pour des valeurs l différentes, donnant des valeurs de j = l ± (1/2) identiques, on
obtient une même valeur de E
(1)
nj ; tous les niveaux de ce type sont donc dégénérés.
11 • Structure fine de l’atome d’hydrogène
au niveau E
(0)
n est :
H n =
n−1
l=0
⊕
E
(l)
⊗ E
(1/2)
(11.3.2)
La décomposition de Clebsch-Gordan d’un produit direct de deux représentations
irréductibles de SO(3) nous donne :
E
(l)
⊗ E
(1/2) =
E
j=1/2
si l = 0
E
j=l+1/2
⊕ E
j=l−1/2 si l = 0
(11.3.3)
Compte tenu de (11.3.3), la décomposition de l’espace H n s’écrit :
H n = E
1/2
l=0 ⊕
n−1
l=1
⊕
E
l+1/2
(l)
⊕ E
l−1/2
(l)
(11.3.4)
Pour n = 1, la décomposition ci-dessus se réduit à :
H 1 = E
1/2
l=0
(11.3.5)
et correspond à un seul niveau 1s 1/2 qui est doublement dégénéré. Pour n = 2, on
obtient :
H 2 = E
1/2
l=0 ⊕ E
3/2
l=1 ⊕ E
1/2
l=1
(11.3.6)
On retrouve les trois niveaux d’énergie mis précédemment en évidence, à savoir :
2s 1/2 , 2p 3/2 et 2p 1/2 . Pour n = 3, la décomposition (11.3.4) fait apparaître la suite de
niveaux de structure fine : 3s 1/2 , 3p 1/2 , 3p 3/2 , 3d 3/2 , 3d 5/2 .
11.3.2 Correction relativiste des niveaux d’énergie
Le calcul des énergies de perturbation relativiste du premier ordre, E
(1)
nj , peut être
réalisé pour un niveau quelconque n comme nous venons de le voir pour n = 2. On
obtient la formule suivante (voir exercice 11.4) :
E
(1)
nj = −
m e a
4 c
2
2n 3
⎛
⎜
⎝
1
j +
1
2
−
3
4n
⎞
⎟
⎠
(11.3.7)
Cette formule donne la correction relativiste à apporter à l’énergie E
(0)
n de l’atome
d’hydrogène. La perturbation due au couplage spin-orbite lève partiellement la dégénérescence des niveaux non perturbés.
Nous avons vu que les niveaux 2s 1/2 et 2p 1/2 sont égaux. De manière générale,
pour des valeurs l différentes, donnant des valeurs de j = l ± (1/2) identiques, on
obtient une même valeur de E
(1)
nj ; tous les niveaux de ce type sont donc dégénérés.