11.3 Structure fine des niveaux d’énergie
263
On obtient deux racines distinctes du déterminant 2p et la dégénérescence
d’ordre six est partiellement levée par le couplage spin-orbite. Pour j = 1/2, on
a m J = ±1/2 et le niveau correspondant est deux fois dégénéré. Pour j = 3/2, on a
m J = −3/2, −1/2, 1/2, 3/2 ; le niveau a une dégénérescence d’ordre quatre.
11.2.5 Structure fine du niveau n = 2
a) Notation des états énergétiques
Les nouveaux niveaux obtenus par le calcul de la perturbation W F sont spécifiés
par les nombres quantiques n, l, j. Pour les représenter, on ajoute au symbole qui
représente la sous-couche n, l, l’indice j écrit en indice inférieur à droite. Ainsi le
niveau 2p donne naissance aux niveaux de structure fine 2p 1/2 et 2p 3/2 . Pour le niveau
2s, j ne prend que la valeur j = 1/2 et le nouveau niveau s’écrit 2s 1/2 .
b) Niveaux de structure fine
Regroupons les résultats précédents pour déterminer la position des niveaux de
structure fine. Le niveau 2s, selon (11.2.8), est abaissé d’une quantité égale à
−5m e a
4 c
2 /128 par rapport au niveau E
(0)
2 non perturbé.
Le niveau 2p 1/2 est abaissé de la somme des énergies (11.2.9) et (11.2.15), soit
également −5m e a
4 c
2 /128 ; les niveaux 2s 1/2 et 2p 1/2 sont donc égaux.
Enfin le niveau 2p 3/2 est abaissé de la somme des énergies (11.2.9) et (11.2.16),
soit −m e a
4 c
2 /128.
11.3 STRUCTURE FINE DES NIVEAUX D’ÉNERGIE
11.3.1 Levée de la dégénérescence
Utilisons les résultats portant sur la composition des moments cinétiques, étudiée au
chapitre 6, pour déterminer la levée de la dégénérescence des niveaux d’énergie par
suite de l’interaction spin-orbite.
Notons E n l’espace vectoriel des états |nlm de l’électron de l’atome d’hydrogène
qui correspondent aux niveaux d’énergie non perturbés E
(0)
n . Notons E
(l) le sousespace de E n correspondant à l fixé. On a :
E n =
n−1
l=0
⊕E
(l)
(11.3.1)
Les vecteurs de E
(l) sont les vecteurs propres du carré du moment cinétique L
2 de
l’électron et ce sont donc les espaces des représentations irréductibles du groupe
SO(3) pour les valeurs l entières. Notons E
(1/2) l’espace des spineurs à deux composantes. L’espace des vecteurs d’état |nlms de l’atome d’hydrogène correspondant
263
On obtient deux racines distinctes du déterminant 2p et la dégénérescence
d’ordre six est partiellement levée par le couplage spin-orbite. Pour j = 1/2, on
a m J = ±1/2 et le niveau correspondant est deux fois dégénéré. Pour j = 3/2, on a
m J = −3/2, −1/2, 1/2, 3/2 ; le niveau a une dégénérescence d’ordre quatre.
11.2.5 Structure fine du niveau n = 2
a) Notation des états énergétiques
Les nouveaux niveaux obtenus par le calcul de la perturbation W F sont spécifiés
par les nombres quantiques n, l, j. Pour les représenter, on ajoute au symbole qui
représente la sous-couche n, l, l’indice j écrit en indice inférieur à droite. Ainsi le
niveau 2p donne naissance aux niveaux de structure fine 2p 1/2 et 2p 3/2 . Pour le niveau
2s, j ne prend que la valeur j = 1/2 et le nouveau niveau s’écrit 2s 1/2 .
b) Niveaux de structure fine
Regroupons les résultats précédents pour déterminer la position des niveaux de
structure fine. Le niveau 2s, selon (11.2.8), est abaissé d’une quantité égale à
−5m e a
4 c
2 /128 par rapport au niveau E
(0)
2 non perturbé.
Le niveau 2p 1/2 est abaissé de la somme des énergies (11.2.9) et (11.2.15), soit
également −5m e a
4 c
2 /128 ; les niveaux 2s 1/2 et 2p 1/2 sont donc égaux.
Enfin le niveau 2p 3/2 est abaissé de la somme des énergies (11.2.9) et (11.2.16),
soit −m e a
4 c
2 /128.
11.3 STRUCTURE FINE DES NIVEAUX D’ÉNERGIE
11.3.1 Levée de la dégénérescence
Utilisons les résultats portant sur la composition des moments cinétiques, étudiée au
chapitre 6, pour déterminer la levée de la dégénérescence des niveaux d’énergie par
suite de l’interaction spin-orbite.
Notons E n l’espace vectoriel des états |nlm de l’électron de l’atome d’hydrogène
qui correspondent aux niveaux d’énergie non perturbés E
(0)
n . Notons E
(l) le sousespace de E n correspondant à l fixé. On a :
E n =
n−1
l=0
⊕E
(l)
(11.3.1)
Les vecteurs de E
(l) sont les vecteurs propres du carré du moment cinétique L
2 de
l’électron et ce sont donc les espaces des représentations irréductibles du groupe
SO(3) pour les valeurs l entières. Notons E
(1/2) l’espace des spineurs à deux composantes. L’espace des vecteurs d’état |nlms de l’atome d’hydrogène correspondant