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11 • Structure fine de l’atome d’hydrogène
sur le sous-espace 2p sont des multiples de la matrice unité avec des coefficients de
proportionnalité donnés par :
W V 2p = −
7
384
m e a
4 c
2 ; W D 2p = 0
(11.2.9)
Ces termes n’engendrent donc pas de levée de la dégénérescence du niveau 2p mais
seulement un déplacement en bloc de la valeur de l’énergie.
b) Terme W SO
La perturbation W SO , donnée par (11.1.28), a pour éléments matriciels :
n = 2, l = 1, s =
1
2
, m
L , m
S |
e
2
2m 2
e c 2
1
R 3 L·S |n = 2, l = 1, s =
1
2
, m L , m S
(11.2.10)
avec m L = m
L = −1, 0, 1 et m S = m
S = ±1/2. Utilisant les expressions des
fonctions d’onde, on peut séparer dans (11.2.10) la partie radiale des parties angulaire
et de spin. Notons r 2p l’intégrale portant sur la variable radiale, soit :
r 2p =
e
2
2m 2
e c 2
∞
0
1
r 3 |R 2,1 (r)|
2 r
2 dr
(11.2.11)
La fonction radiale R 2,1 (r) a été calculée au chapitre 7 et l’on obtient :
r 2p =
m e c
2 a
4
48 2
(11.2.12)
Le calcul des éléments matriciels de L·S figurant dans (11.2.10) peut se faire sur la
base des états |l, s, m L , m S qui sont des états propres communs à L
2 , S
2 , L z .
Il est cependant plus intéressant d’utiliser une base notée {|l, s, j, m J } et formée
à partir des vecteurs propres communs à L
2 , S
2 , J
2 , J z , avec J = L + S. En effet, le
carré (L + S)
2 conduit à la relation :
L·S =
1
2
(J
2
− L
2
− S
2 )
(11.2.13)
et l’opérateur L·S appliqué aux vecteurs de base |l, s, j, m J fait apparaître les
valeurs propres des opérateurs L
2 , S
2 , J
2 , soit :
L · S|l, s, j, m J =
2
2
j( j + 1) − l(l + 1) −
3
4
|l, s, j, m J
(11.2.14)
On obtient pour L·S une matrice diagonale qui permet, compte tenu de l’équation
(11.2.12), d’obtenir pour la perturbation W SO les valeurs :
pour j = 1/2 :
W SO
(1)
2p = −m e a
4 c
2 /48
(11.2.15)
pour j = 3/2 :
W SO
(2)
2p = m e a
4 c
2 /96
(11.2.16)
11 • Structure fine de l’atome d’hydrogène
sur le sous-espace 2p sont des multiples de la matrice unité avec des coefficients de
proportionnalité donnés par :
W V 2p = −
7
384
m e a
4 c
2 ; W D 2p = 0
(11.2.9)
Ces termes n’engendrent donc pas de levée de la dégénérescence du niveau 2p mais
seulement un déplacement en bloc de la valeur de l’énergie.
b) Terme W SO
La perturbation W SO , donnée par (11.1.28), a pour éléments matriciels :
n = 2, l = 1, s =
1
2
, m
L , m
S |
e
2
2m 2
e c 2
1
R 3 L·S |n = 2, l = 1, s =
1
2
, m L , m S
(11.2.10)
avec m L = m
L = −1, 0, 1 et m S = m
S = ±1/2. Utilisant les expressions des
fonctions d’onde, on peut séparer dans (11.2.10) la partie radiale des parties angulaire
et de spin. Notons r 2p l’intégrale portant sur la variable radiale, soit :
r 2p =
e
2
2m 2
e c 2
∞
0
1
r 3 |R 2,1 (r)|
2 r
2 dr
(11.2.11)
La fonction radiale R 2,1 (r) a été calculée au chapitre 7 et l’on obtient :
r 2p =
m e c
2 a
4
48 2
(11.2.12)
Le calcul des éléments matriciels de L·S figurant dans (11.2.10) peut se faire sur la
base des états |l, s, m L , m S qui sont des états propres communs à L
2 , S
2 , L z .
Il est cependant plus intéressant d’utiliser une base notée {|l, s, j, m J } et formée
à partir des vecteurs propres communs à L
2 , S
2 , J
2 , J z , avec J = L + S. En effet, le
carré (L + S)
2 conduit à la relation :
L·S =
1
2
(J
2
− L
2
− S
2 )
(11.2.13)
et l’opérateur L·S appliqué aux vecteurs de base |l, s, j, m J fait apparaître les
valeurs propres des opérateurs L
2 , S
2 , J
2 , soit :
L · S|l, s, j, m J =
2
2
j( j + 1) − l(l + 1) −
3
4
|l, s, j, m J
(11.2.14)
On obtient pour L·S une matrice diagonale qui permet, compte tenu de l’équation
(11.2.12), d’obtenir pour la perturbation W SO les valeurs :
pour j = 1/2 :
W SO
(1)
2p = −m e a
4 c
2 /48
(11.2.15)
pour j = 3/2 :
W SO
(2)
2p = m e a
4 c
2 /96
(11.2.16)