11.2 Structure fine du niveau n = 2
261
– d’autre part, en un déterminant 6 × 6 calculé à partir des états 2p ; c’est le déterminant 2p, noté |2p|.
Finalement le déterminant séculaire a la forme suivante et il doit être nul :
|2s| 0
0 |2p|
= 0
(11.2.4)
Les racines de cette équation sont donc obtenues en calculant les racines de chacun
des sous-déterminants 2s et 2p.
11.2.3 Déterminant 2s
Les vecteurs propres de l’hamiltonien non perturbé sont, pour l’état 2s, les vecteurs
|n = 2, l = 0, m L = 0, m S = ±1/2. Puisque W V et W D ne dépendent pas de S, les
matrices qui représentent ces deux opérateurs de perturbation sur le sous-espace 2s
sont donc des multiples de la matrice unité avec des coefficients donnés par :
W V 2s = 2, 0, 0| −
P
4
8m 3
e c 2 |2, 0 0
(11.2.5)
W D 2s = 2, 0, 0|
pe
2
2
2m 2
e c 2 d(r)|2, 0, 0 =
pe
2
2
2m 2
e c 2 R
2
20 (0) |Y 00 |
2
(11.2.6)
Les fonctions d’onde de l’atome d’hydrogène ont été calculées au chapitre 7 et les
éléments matriciels ci-dessus sont des intégrales classiques. On obtient :
W V 2s = −
13
128
m e a
4 c
2 ; W D 2s =
1
16
m e a
4 c
2
(11.2.7)
où a =
e
2
c
est la constante de structure fine.
Les éléments matriciels de W SO sont nuls. En effet, ils font intervenir des éléments
de matrice portant sur les variables angulaires de la forme :
l = 0, m L = 0| L x |l = 0, m L = 0
ainsi qu’avec d’autres éléments contenant les opérateurs L y et L z , et qui sont nuls
puisque l = 0. Finalement, l’énergie de perturbation au premier ordre E
(1)
2s est égale
à :
E
(1)
2s = −
5
128
m e a
4 c
2
(11.2.8)
Il n’y a pas de levée de la dégénérescence des états 2s.
11.2.4 Déterminant 2p
a) Termes W V et W D
Les opérateurs W V et W D commutent avec l’opérateur L et sont par suite des opérateurs scalaires vis-à-vis des variables orbitales. De plus, W V et W D n’agissent pas
sur les variables de spin. Il s’ensuit que les matrices qui représentent ces opérateurs
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– d’autre part, en un déterminant 6 × 6 calculé à partir des états 2p ; c’est le déterminant 2p, noté |2p|.
Finalement le déterminant séculaire a la forme suivante et il doit être nul :
|2s| 0
0 |2p|
= 0
(11.2.4)
Les racines de cette équation sont donc obtenues en calculant les racines de chacun
des sous-déterminants 2s et 2p.
11.2.3 Déterminant 2s
Les vecteurs propres de l’hamiltonien non perturbé sont, pour l’état 2s, les vecteurs
|n = 2, l = 0, m L = 0, m S = ±1/2. Puisque W V et W D ne dépendent pas de S, les
matrices qui représentent ces deux opérateurs de perturbation sur le sous-espace 2s
sont donc des multiples de la matrice unité avec des coefficients donnés par :
W V 2s = 2, 0, 0| −
P
4
8m 3
e c 2 |2, 0 0
(11.2.5)
W D 2s = 2, 0, 0|
pe
2
2
2m 2
e c 2 d(r)|2, 0, 0 =
pe
2
2
2m 2
e c 2 R
2
20 (0) |Y 00 |
2
(11.2.6)
Les fonctions d’onde de l’atome d’hydrogène ont été calculées au chapitre 7 et les
éléments matriciels ci-dessus sont des intégrales classiques. On obtient :
W V 2s = −
13
128
m e a
4 c
2 ; W D 2s =
1
16
m e a
4 c
2
(11.2.7)
où a =
e
2
c
est la constante de structure fine.
Les éléments matriciels de W SO sont nuls. En effet, ils font intervenir des éléments
de matrice portant sur les variables angulaires de la forme :
l = 0, m L = 0| L x |l = 0, m L = 0
ainsi qu’avec d’autres éléments contenant les opérateurs L y et L z , et qui sont nuls
puisque l = 0. Finalement, l’énergie de perturbation au premier ordre E
(1)
2s est égale
à :
E
(1)
2s = −
5
128
m e a
4 c
2
(11.2.8)
Il n’y a pas de levée de la dégénérescence des états 2s.
11.2.4 Déterminant 2p
a) Termes W V et W D
Les opérateurs W V et W D commutent avec l’opérateur L et sont par suite des opérateurs scalaires vis-à-vis des variables orbitales. De plus, W V et W D n’agissent pas
sur les variables de spin. Il s’ensuit que les matrices qui représentent ces opérateurs