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11 • Structure fine de l’atome d’hydrogène
11.2 STRUCTURE FINE DU NIVEAU n = 2
11.2.1 Dégénérescence du niveau n = 2
Avant de déterminer les corrections relativistes d’un niveau quelconque de l’atome
d’hydrogène, étudions en détail le niveau n = 2. L’énergie E
(0)
n de l’atome d’hydrogène, calculée au chapitre 7, ne dépend que du nombre quantique principal n soit
pour n = 2 :
E
(0)
2 = −
me
4
8 2
(11.2.1)
Le nombre azimutal l prend les valeurs l n − 1 et le nombre quantique magnétique
m L varie de −l à l. Le niveau E 2 est donc relatif à l’état 2s (l = m L = 0) et aux
trois états 2p (l = 1, m L = −1, 0, 1). Chacun des états précédents correspond luimême à deux états de spin caractérisés respectivement par les nombres m S = ±1/2.
Finalement, l’énergie E
(0)
2 est associée à huit états ; la dégénérescence du niveau est
égale à huit.
11.2.2 Calcul de perturbation
Considérons les termes de structure fine comme une perturbation W F donnée, selon
(11.1.22), par :
W F = W V + W SO + W D
(11.2.2)
Ces énergies étant faibles par rapport à celles de l’hamiltonien non perturbé, c’està-dire non relativiste, la méthode des perturbations pour une énergie dégénérée peut
être utilisée. Pour ce faire, déterminons l’équation séculaire donnée par (8.1.28).
➤ Déterminants séculaires des états 2s et 2p
Le déterminant séculaire est de dimension 8×8. Si l’on considère une base orthonormée formée par les huit vecteurs |n, l, m L , m S des états 2s et 2p, ces vecteurs sont
des états propres de l’opérateur L
2 avec des valeurs propres différentes, 0 et 2
2 .
Or l’opérateur L
2 commute avec l’opérateur W F . En effet, L
2 commute avec les
différentes composantes de L, avec R puisque L
2 n’agit que sur les variables angulaires, avec P
2 , et avec S puisque L
2 n’agit pas sur les variables de spin. Donc L
2
commute avec W V , W SO , W D et donc avec W F .
Nous avons vu, d’autre part, que si deux opérateurs hermitiens A et B commutent,
et si |c 1 et |c 2 sont deux vecteurs propres de A associés respectivement à des
valeurs propres différentes, on a, selon la formule (2.3.20) :
c 1 | B |c 2 = 0
(11.2.3)
Il s’ensuit que les éléments matriciels W ik = n i |W|n k calculés entre un état 2s et un
état 2p sont tous nuls. En conséquence, le déterminant séculaire se décompose :
– d’une part, en un déterminant formé par des termes calculés à partir des états 2s ;
c’est un déterminant 2 × 2 que nous appellerons le déterminant 2s, noté |2s|.
11 • Structure fine de l’atome d’hydrogène
11.2 STRUCTURE FINE DU NIVEAU n = 2
11.2.1 Dégénérescence du niveau n = 2
Avant de déterminer les corrections relativistes d’un niveau quelconque de l’atome
d’hydrogène, étudions en détail le niveau n = 2. L’énergie E
(0)
n de l’atome d’hydrogène, calculée au chapitre 7, ne dépend que du nombre quantique principal n soit
pour n = 2 :
E
(0)
2 = −
me
4
8 2
(11.2.1)
Le nombre azimutal l prend les valeurs l n − 1 et le nombre quantique magnétique
m L varie de −l à l. Le niveau E 2 est donc relatif à l’état 2s (l = m L = 0) et aux
trois états 2p (l = 1, m L = −1, 0, 1). Chacun des états précédents correspond luimême à deux états de spin caractérisés respectivement par les nombres m S = ±1/2.
Finalement, l’énergie E
(0)
2 est associée à huit états ; la dégénérescence du niveau est
égale à huit.
11.2.2 Calcul de perturbation
Considérons les termes de structure fine comme une perturbation W F donnée, selon
(11.1.22), par :
W F = W V + W SO + W D
(11.2.2)
Ces énergies étant faibles par rapport à celles de l’hamiltonien non perturbé, c’està-dire non relativiste, la méthode des perturbations pour une énergie dégénérée peut
être utilisée. Pour ce faire, déterminons l’équation séculaire donnée par (8.1.28).
➤ Déterminants séculaires des états 2s et 2p
Le déterminant séculaire est de dimension 8×8. Si l’on considère une base orthonormée formée par les huit vecteurs |n, l, m L , m S des états 2s et 2p, ces vecteurs sont
des états propres de l’opérateur L
2 avec des valeurs propres différentes, 0 et 2
2 .
Or l’opérateur L
2 commute avec l’opérateur W F . En effet, L
2 commute avec les
différentes composantes de L, avec R puisque L
2 n’agit que sur les variables angulaires, avec P
2 , et avec S puisque L
2 n’agit pas sur les variables de spin. Donc L
2
commute avec W V , W SO , W D et donc avec W F .
Nous avons vu, d’autre part, que si deux opérateurs hermitiens A et B commutent,
et si |c 1 et |c 2 sont deux vecteurs propres de A associés respectivement à des
valeurs propres différentes, on a, selon la formule (2.3.20) :
c 1 | B |c 2 = 0
(11.2.3)
Il s’ensuit que les éléments matriciels W ik = n i |W|n k calculés entre un état 2s et un
état 2p sont tous nuls. En conséquence, le déterminant séculaire se décompose :
– d’une part, en un déterminant formé par des termes calculés à partir des états 2s ;
c’est un déterminant 2 × 2 que nous appellerons le déterminant 2s, noté |2s|.