11.2 Équation de Dirac
259
Cependant, le terme W SO représente bien l’interaction du spin avec le champ magnétique « vu » par l’électron au cours de sa trajectoire dans le champ électrostatique
engendré par le proton. Le coefficient 1/2 vient du fait que le référentiel lié à l’électron n’est pas un référentiel d’inertie puisque le mouvement autour du proton n’est
pas rectiligne et uniforme, et l’expression classique −
− →
M ·
− →
B est insuffisante.
Le champ électrique dans l’atome d’hydrogène est central symétrique :
− →
E = −
− → r
r
dV
dr
(11.1.26)
et l’opérateur d’interaction spin-orbite peut se mettre sous la forme :
W SO = −
e 0
4m 2
e c 2 r
s·(R × P)
dV
dr
= −
e 0
2m 2
e c 2 r
dV
dr
L·S
(11.1.27)
où L = R × P est l’opérateur de moment orbital et S = ( /2)s, l’opérateur de
spin de l’électron. Le potentiel créé par le proton est égal à V(r) = e 0 /4p´ 0 r, d’où
finalement l’expression de l’opérateur W SO :
W SO =
e
2
2m 2
e c 2
1
R 3 L·S
(11.1.28)
c) Terme de Darwin
Dans l’équation de Dirac, l’électron est considéré comme ponctuel et seule la valeur
du champ au point r, où est situé l’électron, est prise en compte. Par contre, lorsqu’on
considère l’approximation (11.1.21), C. G. Darwin a montré qu’il faut prendre en
compte l’influence du champ provenant d’un petit domaine centré sur l’électron et
d’extension de l’ordre de /m e c.
Pour un champ coulombien créé par une charge ponctuelle e 0 , on a :
div
− →
E = −D
e 0
4p´ 0 r
=
e 0
´ 0
d(r)
(11.1.29)
et le terme de Darwin prend la forme :
W D =
pe
2
2
2m 2
e c 2 d(r)
(11.1.30)
La valeur moyenne de W D pour un état c(r) de l’électron est égale à :
W D =
pe
2
2
2m 2
e c 2 |c(0)|
2
(11.1.31)
où c(0) est la valeur de la fonction d’onde à l’origine. Nous avons vu que seule la
fonction d’onde de l’état s de l’électron est différente de zéro au point origine et la
correction de Darwin n’intervient donc pas pour les autres états.
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Cependant, le terme W SO représente bien l’interaction du spin avec le champ magnétique « vu » par l’électron au cours de sa trajectoire dans le champ électrostatique
engendré par le proton. Le coefficient 1/2 vient du fait que le référentiel lié à l’électron n’est pas un référentiel d’inertie puisque le mouvement autour du proton n’est
pas rectiligne et uniforme, et l’expression classique −
− →
M ·
− →
B est insuffisante.
Le champ électrique dans l’atome d’hydrogène est central symétrique :
− →
E = −
− → r
r
dV
dr
(11.1.26)
et l’opérateur d’interaction spin-orbite peut se mettre sous la forme :
W SO = −
e 0
4m 2
e c 2 r
s·(R × P)
dV
dr
= −
e 0
2m 2
e c 2 r
dV
dr
L·S
(11.1.27)
où L = R × P est l’opérateur de moment orbital et S = ( /2)s, l’opérateur de
spin de l’électron. Le potentiel créé par le proton est égal à V(r) = e 0 /4p´ 0 r, d’où
finalement l’expression de l’opérateur W SO :
W SO =
e
2
2m 2
e c 2
1
R 3 L·S
(11.1.28)
c) Terme de Darwin
Dans l’équation de Dirac, l’électron est considéré comme ponctuel et seule la valeur
du champ au point r, où est situé l’électron, est prise en compte. Par contre, lorsqu’on
considère l’approximation (11.1.21), C. G. Darwin a montré qu’il faut prendre en
compte l’influence du champ provenant d’un petit domaine centré sur l’électron et
d’extension de l’ordre de /m e c.
Pour un champ coulombien créé par une charge ponctuelle e 0 , on a :
div
− →
E = −D
e 0
4p´ 0 r
=
e 0
´ 0
d(r)
(11.1.29)
et le terme de Darwin prend la forme :
W D =
pe
2
2
2m 2
e c 2 d(r)
(11.1.30)
La valeur moyenne de W D pour un état c(r) de l’électron est égale à :
W D =
pe
2
2
2m 2
e c 2 |c(0)|
2
(11.1.31)
où c(0) est la valeur de la fonction d’onde à l’origine. Nous avons vu que seule la
fonction d’onde de l’état s de l’électron est différente de zéro au point origine et la
correction de Darwin n’intervient donc pas pour les autres états.