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11 • Structure fine de l’atome d’hydrogène
approximation, nous donne :
H D =
P
2
2m
+ qV −
P
4
8m 3 c 2 −
q
4m 2 c 2 s·(E × P) −
q
2
8m 2 c 2 div E
(11.1.21)
Les deux premiers termes de H D sont ceux de l’hamiltonien non relativiste H 0 . Les
termes suivants sont appelés termes de structure fine.
11.1.4 Interprétation physique des termes de structure fine
Les termes de structure fine de l’atome d’hydrogène comportent trois opérateurs
qu’on identifie après avoir posé q = −e 0 et m = m e :
W V = −
P
4
8m 3
e c 2 ; W SO =
e 0
4m 2
e c 2 s·(E × P) ; W D =
e 0
2
8m 2
e c 2 div E
(11.1.22)
Donnons une interprétation physique de ces énergies qui sont faibles. Le calcul
montre en effet que chacune d’entre elles est de l’ordre de 10
−3 eV soit 10
4 fois
plus faible que l’hamiltonien non perturbé de l’atome d’hydrogène.
a) Variation de l’énergie cinétique avec la vitesse
L’énergie relativiste d’une particule libre classique de masse au repos m e et d’impulsion p est :
E = c
p 2 + m 2
e c 2
(11.1.23)
Effectuons un développement limité de E en puissances de |p|/m e c :
E = m e c
2 +
p
2
2m e
−
p
4
8m 3
e c 2 + · · ·
(11.1.24)
Le premier terme de E est son énergie au repos, m e c
2 , et le second, son énergie
cinétique, p
2 /2m e . Le terme suivant, W V , représente donc la première correction relativiste de l’énergie cinétique due à la vitesse de la particule.
b) Couplage spin-orbite
Introduisant le moment magnétique M = −m B s et la vitesse V = P/m e , dans
l’expression de W SO ; il vient :
W SO = −
1
2c 2 M·(E × V)
(11.1.25)
Dans le référentiel en mouvement avec l’électron, il apparaît un champ magnétique
− →
B = (1/c
2 )
− →
E ×
− →
v , sous l’influence duquel le moment magnétique a une énergie
−
− →
M ·
− →
B . Or le terme W SO a pour expression W SO = −M·B/2, soit la moitié de celui
obtenu à partir du calcul précédent.
11 • Structure fine de l’atome d’hydrogène
approximation, nous donne :
H D =
P
2
2m
+ qV −
P
4
8m 3 c 2 −
q
4m 2 c 2 s·(E × P) −
q
2
8m 2 c 2 div E
(11.1.21)
Les deux premiers termes de H D sont ceux de l’hamiltonien non relativiste H 0 . Les
termes suivants sont appelés termes de structure fine.
11.1.4 Interprétation physique des termes de structure fine
Les termes de structure fine de l’atome d’hydrogène comportent trois opérateurs
qu’on identifie après avoir posé q = −e 0 et m = m e :
W V = −
P
4
8m 3
e c 2 ; W SO =
e 0
4m 2
e c 2 s·(E × P) ; W D =
e 0
2
8m 2
e c 2 div E
(11.1.22)
Donnons une interprétation physique de ces énergies qui sont faibles. Le calcul
montre en effet que chacune d’entre elles est de l’ordre de 10
−3 eV soit 10
4 fois
plus faible que l’hamiltonien non perturbé de l’atome d’hydrogène.
a) Variation de l’énergie cinétique avec la vitesse
L’énergie relativiste d’une particule libre classique de masse au repos m e et d’impulsion p est :
E = c
p 2 + m 2
e c 2
(11.1.23)
Effectuons un développement limité de E en puissances de |p|/m e c :
E = m e c
2 +
p
2
2m e
−
p
4
8m 3
e c 2 + · · ·
(11.1.24)
Le premier terme de E est son énergie au repos, m e c
2 , et le second, son énergie
cinétique, p
2 /2m e . Le terme suivant, W V , représente donc la première correction relativiste de l’énergie cinétique due à la vitesse de la particule.
b) Couplage spin-orbite
Introduisant le moment magnétique M = −m B s et la vitesse V = P/m e , dans
l’expression de W SO ; il vient :
W SO = −
1
2c 2 M·(E × V)
(11.1.25)
Dans le référentiel en mouvement avec l’électron, il apparaît un champ magnétique
− →
B = (1/c
2 )
− →
E ×
− →
v , sous l’influence duquel le moment magnétique a une énergie
−
− →
M ·
− →
B . Or le terme W SO a pour expression W SO = −M·B/2, soit la moitié de celui
obtenu à partir du calcul précédent.