11.1 Équation de Dirac
257
a) Équation de Pauli
Partons de l’équation (11.1.15) et éliminons l’énergie au repos mc
2 de la particule.
Pour cela, définissons la fonction c
par : c = c
exp(−imc
2 t/ ) et introduisons
cette fonction dans l’équation (11.1.15). Écrivons c
sous la forme du bispineur
(z
, x
) et développons l’équation ; on obtient le système d’équations couplées :
cs· (P − qA) x
= (cP 0 − qV)z
(11.1.16)
cs· (P − qA) z
= (cP 0 − qV + 2mc
2 )x
(11.1.17)
Dans le second membre de (11.1.17), négligeons les termes (cP 0 − qV)x
qui sont
petits devant 2mc
2 x
, puisque P 0 mc, ce qui donne :
x
=
1
2mc
s· (P − qA) z
(11.1.18)
Substituons l’expression de x
donnée par (11.1.18) dans l’équation (11.1.16) ; il
vient :
1
2m
s· (P − qA)
2 z
= (cP 0 − qV)z
(11.1.19)
On reconnaît l’équation (10.4.28), avec cP 0 = E, qui nous a permis d’obtenir précisément l’équation de Pauli après quelques transformations.
b) Développement de l’hamiltonien de Dirac
L’équation de Dirac peut être résolue exactement pour un électron plongé dans un
champ coulombien et l’on obtient les niveaux d’énergie de l’atome d’hydrogène. Cependant, il est intéressant d’avoir l’expression de l’hamiltonien de l’hydrogène sous
forme d’un développement limité mettant en évidence les diverses interactions physiques existant au sein de l’atome. Les termes d’interaction seront alors considérés
comme des perturbations de l’hamiltonien H 0 figurant dans l’équation de Schrödinger. Ces perturbations permettent de lever partiellement la dégénérescence des niveaux obtenus à partir de H 0 , donnant ce qu’on appelle la structure fine des niveaux
d’énergie de l’atome d’hydrogène.
Un autre aspect intéressant de cette mise en évidence des perturbations physiques
subies par l’électron est sa généralisation aux autres atomes pour lesquels il n’existe
pas l’équivalent de l’équation de Dirac.
Comparant l’équation (11.1.15) à l’équation générale Hc = cP 0 c, on obtient
l’expression de l’hamiltonien de Dirac en présence de champ :
H D = ca· (P − qA) + bmc
2 + qV
(11.1.20)
Pour le calcul du développement limité, on suppose que seul existe le champ électrique extérieur
− →
E et que le potentiel vecteur est nul. Un calcul assez complexe, dans
lequel on cherche une équation d’onde analogue à celle de Schrödinger en seconde
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a) Équation de Pauli
Partons de l’équation (11.1.15) et éliminons l’énergie au repos mc
2 de la particule.
Pour cela, définissons la fonction c
par : c = c
exp(−imc
2 t/ ) et introduisons
cette fonction dans l’équation (11.1.15). Écrivons c
sous la forme du bispineur
(z
, x
) et développons l’équation ; on obtient le système d’équations couplées :
cs· (P − qA) x
= (cP 0 − qV)z
(11.1.16)
cs· (P − qA) z
= (cP 0 − qV + 2mc
2 )x
(11.1.17)
Dans le second membre de (11.1.17), négligeons les termes (cP 0 − qV)x
qui sont
petits devant 2mc
2 x
, puisque P 0 mc, ce qui donne :
x
=
1
2mc
s· (P − qA) z
(11.1.18)
Substituons l’expression de x
donnée par (11.1.18) dans l’équation (11.1.16) ; il
vient :
1
2m
s· (P − qA)
2 z
= (cP 0 − qV)z
(11.1.19)
On reconnaît l’équation (10.4.28), avec cP 0 = E, qui nous a permis d’obtenir précisément l’équation de Pauli après quelques transformations.
b) Développement de l’hamiltonien de Dirac
L’équation de Dirac peut être résolue exactement pour un électron plongé dans un
champ coulombien et l’on obtient les niveaux d’énergie de l’atome d’hydrogène. Cependant, il est intéressant d’avoir l’expression de l’hamiltonien de l’hydrogène sous
forme d’un développement limité mettant en évidence les diverses interactions physiques existant au sein de l’atome. Les termes d’interaction seront alors considérés
comme des perturbations de l’hamiltonien H 0 figurant dans l’équation de Schrödinger. Ces perturbations permettent de lever partiellement la dégénérescence des niveaux obtenus à partir de H 0 , donnant ce qu’on appelle la structure fine des niveaux
d’énergie de l’atome d’hydrogène.
Un autre aspect intéressant de cette mise en évidence des perturbations physiques
subies par l’électron est sa généralisation aux autres atomes pour lesquels il n’existe
pas l’équivalent de l’équation de Dirac.
Comparant l’équation (11.1.15) à l’équation générale Hc = cP 0 c, on obtient
l’expression de l’hamiltonien de Dirac en présence de champ :
H D = ca· (P − qA) + bmc
2 + qV
(11.1.20)
Pour le calcul du développement limité, on suppose que seul existe le champ électrique extérieur
− →
E et que le potentiel vecteur est nul. Un calcul assez complexe, dans
lequel on cherche une équation d’onde analogue à celle de Schrödinger en seconde