256
11 • Structure fine de l’atome d’hydrogène
Cherchons des matrices hermitiennes d’ordre N vérifiant les conditions (11.1.10).
Pour N < 4, on démontre, comme en théorie non relativiste du chapitre 10, qu’on
ne peut pas trouver de telles matrices alors qu’il en existe pour N = 4. La fonction
d’onde c nécessite alors quatre composantes qui forment un spineur. On peut écrire
celui-ci sous la forme :
c =
z
x
(11.1.11)
où z et x sont eux-mêmes des spineurs à deux composantes ; c est appelé un bispineur
¿
. Les matrices convenables nous donnent l’équation de Dirac :
−P 0
1 1 0
0 1 1
+
0 s
s 0
·P + mc
1 1 0
0 −11
z
x
=
0
0
(11.1.12)
où s est le vecteur ayant pour composantes les matrices de Pauli et 1 1 est la matrice unité d’ordre deux. Comparant terme à terme avec l’équation (11.1.8), on a
les expressions explicites du vecteur a et de la matrice a 4 . Développant l’équation
(11.1.12), on obtient deux équations couplées :
(−P 0 + mc)z + s·Px = 0
(−P 0 − mc)x + s·Pz = 0
(11.1.13)
Les spineurs z et x constituent la représentation standard du bispineur c. L’équation
de Dirac est invariante lors d’une transformation de Lorentz-Poincaré.
b) Particule dans un champ électromagnétique
Le passage de l’équation de Dirac d’une particule libre à une particule chargée dans
un champ électromagnétique extérieur s’effectue par la substitution :
P → P − qA ; P 0 → P 0 −
q
c
V
(11.1.14)
Effectuant cette substitution dans l’équation de Dirac (11.1.12) et posant, suivant la
notation standard : a 4 = b, il vient :
−cP 0 + qV + ca· (P − qA) + bmc
2
c = 0
(11.1.15)
où la matrice unité d’ordre quatre est implicite. C’est l’équation de Dirac de l’électron dans un champ extérieur.
11.1.3 Approximation pour les faibles vitesses
Lorsque la vitesse de l’électron diminue, les effets relativistes s’atténuent et l’équation de Dirac doit permettre de retrouver l’équation de Pauli en négligeant certains
termes.
3. J. HLADIK. Les spineurs en physique. Masson (1996).
11 • Structure fine de l’atome d’hydrogène
Cherchons des matrices hermitiennes d’ordre N vérifiant les conditions (11.1.10).
Pour N < 4, on démontre, comme en théorie non relativiste du chapitre 10, qu’on
ne peut pas trouver de telles matrices alors qu’il en existe pour N = 4. La fonction
d’onde c nécessite alors quatre composantes qui forment un spineur. On peut écrire
celui-ci sous la forme :
c =
z
x
(11.1.11)
où z et x sont eux-mêmes des spineurs à deux composantes ; c est appelé un bispineur
¿
. Les matrices convenables nous donnent l’équation de Dirac :
−P 0
1 1 0
0 1 1
+
0 s
s 0
·P + mc
1 1 0
0 −11
z
x
=
0
0
(11.1.12)
où s est le vecteur ayant pour composantes les matrices de Pauli et 1 1 est la matrice unité d’ordre deux. Comparant terme à terme avec l’équation (11.1.8), on a
les expressions explicites du vecteur a et de la matrice a 4 . Développant l’équation
(11.1.12), on obtient deux équations couplées :
(−P 0 + mc)z + s·Px = 0
(−P 0 − mc)x + s·Pz = 0
(11.1.13)
Les spineurs z et x constituent la représentation standard du bispineur c. L’équation
de Dirac est invariante lors d’une transformation de Lorentz-Poincaré.
b) Particule dans un champ électromagnétique
Le passage de l’équation de Dirac d’une particule libre à une particule chargée dans
un champ électromagnétique extérieur s’effectue par la substitution :
P → P − qA ; P 0 → P 0 −
q
c
V
(11.1.14)
Effectuant cette substitution dans l’équation de Dirac (11.1.12) et posant, suivant la
notation standard : a 4 = b, il vient :
−cP 0 + qV + ca· (P − qA) + bmc
2
c = 0
(11.1.15)
où la matrice unité d’ordre quatre est implicite. C’est l’équation de Dirac de l’électron dans un champ extérieur.
11.1.3 Approximation pour les faibles vitesses
Lorsque la vitesse de l’électron diminue, les effets relativistes s’atténuent et l’équation de Dirac doit permettre de retrouver l’équation de Pauli en négligeant certains
termes.
3. J. HLADIK. Les spineurs en physique. Masson (1996).